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Extrait

1 — PRINCIPE DE FERMAT
Lapre´sentationdel’Optiquege´ome´triquepropose´eiciestaxiomatique;ellede´veloppe Fermat qui ge´ne´ralise ce re´sultat a` des rayons lumineux suivant des trajets quelconques
desdesoutilsne´cessairesautraitementdessyste`mesde formation d’images,maisquel’on dansdesmilieux auxproprie´te´soptiquescomple`tement arbitraires.
rencontreraaussidansd’autresdomainesdela Physique. Dans son e´nonce´ le plus simple, ce principe affirme que, lors de son parcours d’un
pointAa` unpointBdonne´, lalumie`resuitunecourbe(C)quiassureunedure´edetrajet
extre´male(enge´ne´ralminimale) parrapporta` touttrajetvoisin.
1.1– CheminoptiqueetprincipedeFermat
1.1.3- Indiceoptique
1.1.1- Optiquege´ome´trique
La dure´eτ du trajetde la lumie`re d’un pointA a` un pointB de´pend de la vitessev de
L’Optiquege´ome´triquee´tudielestrajectoiresdesrayonslumineux,sanssepre´occuper
la propagation de la lumie`re en chaque point M du trajet; si on note c la vitesse de la
0
de leur nature (celle-cisera e´tudie´e ulte´rieurement; nous verronsalors que les pinceaux
lumie`re dans le vide, on choisira de noter v = c /n en de´finissant l’indice optique n du
0
de rayons lumineux mate´rialisent la propagation d’ondes e´lectromagne´tiques). Cette
milieu mate´rieltraverse´ enM.
propagation de´pend e´videmment de la pre´sence des obstacles rencontre´s lors de la pro-
Cet indice optique est en ge´ne´ral supe´rieur a` 1 (ce qui indique v < c ) mais ce n’est
0
pagation;nousverronsalorscommentcesobstaclespeuventinfluencerlatrajectoiresui-
pasune obligation, lavitesse depropagation(ouvitessedephase)vn’e´tantpastoujours
vie parcesrayonslumineux;c’estle phe´nome`ne de diffraction.
infe´rieure a` c (ce n’est pas une vitesse mate´rielle). Nous verrons que, dans le cas de
0
L’e´tude de l’Optique ge´ome´trique ne´glige a priori le phe´nome`ne de diffraction : nous
certainsmilieuxmate´rielstransparents(lesplasmasdansledomainedesondesradio)on
supposeronsdoncquelalumie`renerencontreaucunobstaclelorsdesapropagation,sauf
peutavoirn< 1.
bien suˆr les surfaces limitant deux milieux transparents. Ces surfaces seront suppose´es
Notons aussi que l’indice optique d’un milieu mate´riel de´pend de la fre´quence f ou,
suffisammentre´gulie`respour qu’on puisse, entout pointleur associerun plantangent.
ce qui revientaumeˆme, de la longueur d’onde dans le videλ =c /f de l’onde e´tudie´e.
0 0
Onparlerade dioptrespourlessurfacespermettantlatransmission etlare´flexiondela
Pour la lumie`re visible, 400 nm6 λ 6 750 nm (limites conventionnelles) avec un sens
0
lumie`re;une surfacequine permetque la re´flexionestun miroir.
de variationpre´cise´ parla fig. 1.1.
Nous ne nous pre´occuperons pas non plus ici de la nature physique des sources de
Lade´pendanced’unindiceaveclalongueur d’ondeconstitue lephe´nome`ne de disper-
lumie`re; il nous suffira d’affirmer l’existence d’une ou plusieurs sources ponctuelles de
sion, pre´sent dans tous les milieux mate´riels sauf le vide. Pour la plupart des mate´riaux
lumie`re(lessourcese´tenduese´tantconside´re´escommedesassociationsdesourcesponc-
dn b
tuelles), e´clairantl’espaceselon deslois de´veloppe´esplusbas.
usuels, < 0; on peutsouvent adopter le mode`le de Cauchy,n =a+ oua etb sont
2
dλ
λ
0
0
desconstantespositives.
1.1.2- PrincipedeFermat
Retenons enfinquelquesordresdegrandeurs.Onad’abordpourvitessedelalumie`re
Conside´rons deux points A et B quelconques, susceptibles d’eˆtre l’un la source et danslevidelavaleur(constanteuniverselle,inde´pendantedel’e´tatdemouvementdela
l’autre la destination d’un rayon lumineux. Il est bien connu que le trajet AB est par- source etdel’observateur):
couru par la lumie`re en ligne droite lorsque A et B sont situe´s dans un meˆme milieu
−1
homoge`ne;nousadmettrons,commefondementdel’Optiquege´ome´trique,le principe de c = 299 792 458ms (1.1)
0
1b
b
b
b
b
1.2– Conse´quences
1.2.1- Milieuxhomoge`nes
rouge
bleu
Dans le cas d’un milieu homoge`ne,n est constant et le chemin optique prend la forme
−→
(AB) =nu~ AB,cequel’onpeutnoter(AB) =nAB,enfonctiondelamesurealge´brique
t
de la distance (AB). Un tel chemin optique est extre´mal si la distance AB est minimale
(e´tant borne´e infe´rieurement, une distance ne peut eˆtre maximale), donc pour la ligne
droite: c’estla loi de la propagation rectiligne.
FIG. 1.1–Longueur d’onde etcouleur dela lumie`re
Dans le cas d’une succession de milieux homoge`nes (cf. fig. 1.2), d’indices succes-
sifs n ,k ∈ {0,...,N}, deux milieux conse´cutifs d’indices n et n e´tant se´pare´s
k k
k+1
L’indice optique desmilieux transparentsusuelsve´rifie enge´ne´ral16n6 2avecpar
par les dioptres (D ) ou les miroirs (M ), on peut e´crire le chemin optique
k,k+1 k,k+1
−4
exemplen−1 = 3×10 pour l’air dans les conditions normales de tempe´rature et de
N N
X X
−−−−→
pression,n−1≃ 0,33pour l’eauet0,26n−16 0,9pour lesverresoptiques.
(AB) = n n ~u I I ,sousre´servedenoterI =A
I I soitencore(AB) =
k k k+1 k k k k+1 0
k=0 k=0
−−−−→
1.1.4- Cheminoptique
etI = B, le vecteur unitaire ~u e´tant celui du segmentI I . Sur la fig. 1.2,N = 3 et
N k k k+1
n =n .
1 2
On peut alors exprimer la dure´e d’un trajet infinite´simal selondt = ds/v en fonction
Z
ds
de la distance ds parcourue, donc aussi τ = n(M) , l’inte´grale e´tant e´tendue
c
M∈(C) 0
(M )
(D ) 12
01
dupointAaupointB:c’estcetteinte´gralequidoiteˆtreextre´male,d’apre`sleprincipede B
Fermat.
I I
2 4
Lagrandeurc e´tantuneconstanteuniverselle,onde´finitle cheminoptique(AB)lelong
I
0
3
A
n
d’une courbe(C) arbitraireparl’inte´grale curviligne : 0
I
0
Z Z
n
2
L = (AB) = n(M)ds = n(M)u~ (M)d~r (1.2) n n
t 3
1
I
1
M∈(C) M∈(C)
(D )
23
ou` on a note´ ~u (M) le vecteur unitaire tangent au point M a` la courbe (C); notons que
t
l’inte´grale (1.2)peute´ventuellementeˆtre ne´gative,selon le sens choisi pour l’orientation
de la courbe (C); cette inte´grale curviligne est un premier exemple d’inte´grale de circu-
FIG. 1.2–Succession demilieux homoge`nes
Z
~
lation, qu’on de´finira ge´ne´ralement sous la forme W(M)d~r pour tout champ
M∈(C)
~
vectorielW(M). Onpeutalorsre´e´crireleprincipe deFermat:
1.2.2- LoisdeSnell–Descartes
PRINCIPE DE FERMAT
LanaturerectilignedestrajetsI I e´tantimpose´s danschaque milieuhomoge`ne, le
k k+1
Lors de son parcoursd’un pointA a` un pontB donne´, la lumie`re suit une courbe
principe de Fermat impose seulement le choix des points interme´diairesI (0 < k < N)
k
(C) quiassureunchemin optique extre´malparrapporta` touttrajetvoisin.
de re´fractionoudere´flexiondesrayonslumineux sur lesdiffe´rentsdioptresetmiroirs.

−−−−→ −−−−→ −−→
Un chemin optique positif (avec u~ dans le meˆme sens que d~r, donc si la courbe est
Ce choix doit ve´rifier d(AB) = 0 avec d ~u I I = ~u dOI −dOI
t
k k k+1 k k+1 k
oriente´e dans le sens effectifde parcoursde la lumie`re),sera dit re´el; un chemin optique
−−−−→
ne´gatif seradit virtuel. puisqued~u est perpendiculaire a` ~u et donc a` I I : un vecteur unitaire ve´rifie tou-
k k k k+1
2
4
0
0
n
m
5
5
0
n
m
7
5
0
n
mb
b
b
b
2
′
joursu~ = 1 doncu~ d~u = 0. On peut donc regrouper la condition issue du principe
k k M
k
N−1
X
−−→
deFermatsousla forme n dOI (n u~ −n u~ ) = 0.
k k k k k+1 k+1
k=1
M
Cette condition n’est possible, pour tout de´placementinfinite´simal arbitrairedu point
I sur le dioptre(D )ousur lemiroir (M ), que si le vecteurn ~u −n ~u
B
k k,k+1 k,k+1 k k k+1 k+1
est normal a` la surface de ce dioptre ou de ce miroir. En notant enfin ~g un vecteur
k,k+1
unitairenormala` cettesurface,on adonc :
A
~g ∧n ~u = ~g ∧n u~ (1.3)
k,k+1 k k k,k+1 k+1 k+1 FIG. 1.3–Extremumducheminoptique
Cette relation, qui introduit l’invariant de propagation ~g∧nu~ n’est autre que la loi de
Z
Snell–Descartes de la re´flexion ou de la re´fraction. En effet, elle affirme d’abord que le
On aura donc δ(nu~ d~r) = 0, avec δ(nu~ d~r) = δn(u~ d~r) +n~u δd~r
t t t t
vecteuru~ est orthogonal a` ~g ∧~u , donc a` la normale au plan d’incidence de´fini
k+1 k,k+1 k M∈(C)
parle rayonincident~u etla normale~g aupointd’incidence : puisque δu~ est perpendiculaire a` ~u donc a` d~r = ~u ds. Le vecteurδd~r peut eˆtre de´fini
t t t
k k,k+1
−−−→ −−−→
−−→
′ ′
commeδd~r =d(OM )−d(OM)doncaussiδd~r =dMM =dδ~r,etonpeutdoncre´e´crire
`
PREMIERE LOI DE SNELL–DESCARTES
Z Z
B