cours-valeurspropres

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666ValeursetvecteurspropresUniversiteReneDescartesProblemetresimportantenanalysenumeriqueUFRdemathematiquesetinformatiqueDi cileRemarque:-lesvaleursproprespeuvent^etrecomplexes,m^emesilamatriceestreelle-lesvaleurspropresd’unematricesymetriquesontreelleschapitre9TheoremedeGerschgorin-HadamardValeurspropresetvecteurspropresSiAestunematricecarreed’ordrenPPn0nA=jaj,A=jajiijijjj=1;j=ii=1;i=jalorslesvaleurspropresdeAappartiennentalareuniondesndisquesde nisparjzaj A.iiiDem^emeellesappartiennentalareuniondes0ndisquesde nisparjzaj AjjjCetheoremepermetdesituergrossierementlesvaleurspropres.Methodesnumeriques2003/2004-D.PastreLalocalisationestd’autantmeilleurequeleslicencedemathematiquesetlicenceMASStermesdiagonauxsontgrandsdevantlesautres.Casextr^eme:matricediagonale12Theoreme-SoitAunematricecarreed’ordrenverifantlesproprietessuivantes:1)sesvaleurspropresveri entjj>jji1iAlgorithmedelapuissanceitereepouri=2:::n2)AadmetnvecteurspropresindependantsCalculdelavaleurpropredeplusgrandmodule(1)(2)(n)x,x,...,x,P(0)n(i)etduvecteurpropreassocie,danslecaso ...
Publicado el : viernes, 23 de septiembre de 2011
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6
6
6
V
aleurs
et
vecteurs
p
rop
res
Universit

e
Ren

e
Desca
rtes
Probl

eme
tr

es
imp
o
rtant
en
analyse
num

erique
UFR
de
math

ematiques
et
info
rmatique
Di cile
Rema
rque
:
-
les
valeurs
p
rop
res
p
euvent
^
etre
complexes,
m
^
eme
si
la
matrice
est
r

eelle
-
les
valeurs
p
rop
res
d’une
matrice
sym

etrique
sont
r

eelles
chapitre
9
Th

eo
r

eme
de
Gerschgo
rin-Hadama
rd
V
aleurs
p
rop
res
et
vecteurs
p
rop
res
Si
A
est
une
matrice
ca
rr

ee
d’o
rdre
n
P
P
n
0
n
A
=
j
a
j
,
A
=
j
a
j
i
ij
ij
j
j
=1
;j
=
i
i
=1
;i
=
j
alo
rs
les
valeurs
p
rop
res
de
A
appa
rtiennent

a
la
r

eunion
des
n
disques
d

e nis
pa
r
j
z
a
j
A
.
ii
i
De
m
^
eme
elles
appa
rtiennent

a
la
r

eunion
des
0
n
disques
d

e nis
pa
r
j
z
a
j
A
j
j
j
Ce
th

eo
r

eme
p
ermet
de
situer
grossi

erement
les
valeurs
p
rop
res.
M

etho
des
num

eriques
2003/2004
-
D.P
astre
La
lo
calisation
est
d’autant
meilleure
que
les
licence
de
math

ematiques
et
licence
MASS
termes
diagonaux
sont
grands
devant
les
autres.
Cas
extr
^
eme
:
matrice
diagonale
1
2
Th

eo
r

eme
-
Soit
A
une
matrice
ca
rr

ee
d’o
rdre
n
v

erifant
les
p
rop
ri

et

es
suivantes
:
1)
ses
valeurs
p
rop
res

v

eri ent
j

j
>
j

j
i
1
i
Algo
rithme
de
la
puissance
it

er

ee
p
our
i
=
2
:::n
2)
A
admet
n
vecteurs
p
rop
res
ind

ep
endants
Calcul
de
la
valeur
p
rop
re
de
plus
grand
mo
dule
(1)
(2)
(
n
)
x
,
x
,
...,
x
,
P
(0)
n
(
i
)
et
du
vecteur
p
rop
re
asso
ci

e,
dans
le
cas
o
u
il
3)
le
vecteur
initial
v
s’

ecrit
c
x
avec
i
i
=1
(1)
(2)
(
n
)
existe
une
seule
valeur
p
rop
re
plus
grande
en
c
=
0
dans
la
base
x
,
x
,
...,
x
,
1
(
p
1)
(
p
)
Av
mo
dule
que
toutes
les
autres.
alo
rs
v
=
devient
p
rop
o
rtionnel

a
(
p
1)
k
Av
k
(1)
p
x
quand
p
!
1
et
k
Av
k!j

j
i
On
fo
rme
la
suite
de
vecteurs
(
p
1)
(
p
)
Av
v
=
Asp
ect
algo
rithmique
(
p
1)
k
Av
k
a)
test
d’a
rr
^
et
:
si

>
0
(resp.
<
0),
on
1
(
o
)
n
avec
v
vecteur
a
rbitraire
de
R
s’a
rr
^
ete
si
les
rapp
o
rts
des
comp
osantes
de
n
et
k
k
no
rme
de
C
(
p
+1)
(
p
)
v
et
v
appa
rtiennent

a
]1
;
1
+

[
(resp.
]
1
;
1
+

[)
Soit

la
valeur
p
rop
re
de
plus
grand
mo
dule
b)
vitesse
de
convergence
:
d’autant
plus
grande
1

2
(1)
que
j
j
est
p
etit
o
u

est
la
plus
grande
et
x
un
vecteur
p
rop
re
asso
ci

e.
2

1
(
p
)
valeur
p
rop
re
en
valeur
absolue
ap
r

es

.
1
Sous
certaines
conditions,
v
devient
p
rop
o
r-
c)
cas
o
u
c
=
0
:
on
fait
la
m
^
eme
chose
(1)
(
p
)
1
tionnel

a
x
quand
p
!
1
et
k
Av
k!j

j
1
(2)
avec

et
x
sous
des
hyp
oth

eses
similaires
2

a
celles
du
th

eo
r

eme.
3
4Algo
rithme
de
d

e ation
Algo
rithme
de
Rutishauser
calcule
les
autres
valeurs
p
rop
res
de
A
(Autre
m

etho
de)
Princip
e
:


etant
calcul

ee,
on
d

eduit
une
Recherche,
au
mo
y
en
de
d

ecomp
ositions
LU
succes-
1
sives,
d’une
matrice
semblable

a
la
matrice

etudi

ee
et
matrice
A
1
qui
admet
les
valeurs
p
rop
res
0,
triangulaire
sup

erieure.

,
...,

.
2
n
Les
valeurs
p
rop
res
sont
alo
rs
les

el

ements
diagonaux
de
la
matrice
triangulaire.
On
d

etermine
alo
rs

,
etc
...
2
Princip
e
de
l’algo
rithme
-
d

ecomp
osition
LU
,
A
=
LU
D

etermination
de
A
1
-
calcul,

a
l’aide
de
la
matrice
de
passage
L
,
de
la
ma-
t
1
1

est
aussi
valeur
p
rop
re
de
A
de
vecteur
p
ro-
1
trice
L
AL
=
L
LU
L
=
U
L
semblable

a
A
-
iteration,

a
pa
rtir
de
la
nouvelle
matrice
U
L
du
p
ro-
p
re
y
cessus

1
(1)
t
alo
rs
A
1
=
A
x
y
convient.
t
(1)
y
x
On
d

e nit
ainsi
les
suites
A
,
L
,
U
de
matrices
pa
r
k
k
k
A
=
A
=
L
U
1
1
1
Suite
du
calcul
:
l’algo
rithme
de
la
puissance
A
=
U
L
=
L
U
2
1
1
2
2
...
it

er

ee
appliqu

e

a
A
1
donne

valeur
p
rop
re
de
2
A
=
U
L
=
L
U
k
+1
k
k
k
+1
k
+1
plus
grand
mo
dule
de
A
1.
Les
matrices
A
sont
toutes
semblables

a
A
.
k
En
r

eit

erant
ce
p
ro
cessus
de
d

e ation,
on
p
ourra
Sous
certaines
conditions,
A
!
une
matrice
triangulaire
k
calculer
successivement
toutes
les
valeurs
p
ro-
sup

erieure
quand
k
!
1
p
res
de
A
,

a
condition
qu’elles
soient
toutes
di

erentes
en
mo
dule.
5
6
Theo
r

eme
de
convergence
Si
A
est
une
matrice
telle
que
1)
ses
valeurs
p
rop
res

sont
non
nulles
et
i
T
est
d’a
rr
^
et
di

erentes
en
mo
dules,
On
p
ourra
s’a
rr
^
eter,
pa
r
exemple,
lo
rsque
les
soient
j

j
>
j

j
>
:::
>
j

j
>
0,
n
1
2

el

ements
diagonaux
des
matrices
A
ne
va
rient
k
d’o
u
A
diagonalisable,
avec
une
matrice
de
pas-
p
ratiquement
plus,
c’est-

a-dire
si
sage
X
(dans
la
base
de
vecteurs
p
rop
res),
2)
p
our
tout
k
,
A
est
d

ecomp
osable
en
p
ro-
k
P
n
j
(
A
)
(
A
)
j
k
+1
ii
k
ii
duit
LU
,
i
=1
P
<

n
j
(
A
)
j
1
ii
i
=1
k
3)
les
matrices
X
et
Y
=
X
sont
d

ecomp
osables
en
p
ro
duit
LU
,
Compl

ement
alo
rs
A
converge,
quand
k
!
1
vers
une
ma-
k
Si
dans
la
d

ecomp
osition
LU
on
rencontre
un
trice
triangulaire
sup

erieure
a
y
ant
les
valeurs
p
rop
res
de
A
o
rdonn

ees
en
valeurs
absolues
sur
pivot
nul,
on
mo
di e
la
matrice
en
ajoutant
un
sa
diagonale.
nomb
re
xe,
pa
r
exemple
1,
aux
termes
diag-
onaux.
La
vitesse
de
convergence
de
A
vers
la
fo
rme
k
(Les
valeurs
p
rop
res
de
A
+
I
sont

+

).
i
triangulaire
d

ep
end
des
rapp
o
rts
en
mo
dules
On
retranchera
alo
rs
ce
nomb
re
des
r

esultats
des
valeurs
p
rop
res
entre
elles
:
si
i
>
j
,
(
A
)
!
k
i;j

k
naux.
i
0
comme
j
j
.

j
La
convergence
est
donc
d’autant
meilleure
que
les
valeurs
p
rop
res
sont
bien
s

epa
r

ees
en
mo
dules.
7
8

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