dont on a pas parle ´ Ou`sontpass´eeslesboucles?. Quepourrait-ˆetreunecate´gorie “localement sans boucle” ? . . .
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Chapitre 1
Pourquoi et Comment
Ladirig´ee´ebriqueoligaeglotopitnoe´ucesacexd’elqutresi’leee´dntsedee´ d’un programme peuvent etre vues comme des chemins sur un espace topologique ˆ dontlespointsrepr´esententles´etatsdusyst`eme(potentiellement)atteintsen ion.Onpassealorsd’une´tat`aunaut¸ coursd’exe´cutredefacon“continue”en visitantuneinifinite´d’autres´etats. Desmod`elesdelaconcurrenceplus“classiques”envisagentces´etatscomme unensemble.Unetraced’exe´cutionestalorsunesuite(potentiellementinfinie) de“fl`eches1¸ysusemt`aue`astnapssre’dnue´”fai tat d n autre de facon “atom-ique”.Dansdetelsmode`les,letempsestenuncertainsens“discret. ” Cependantlase´mantiquedulangagedeprogrammationconsid´ere´impose descontraintesde“causalite´”entrelese´tats.Ellessont,parexempledanslecas dessy`estdsemartetisnsnoi[Win95],formalise´seapurentsurtcehpargederu e´tiquete´dontlessommetssontlese´tats,tandisquedanslecasdestraces de Mazurkiewicz[Win95] elles se traduisent par des relations (sur l’ensemble des e´tats)soumisesa`desaxiomesquie´voquentlestracesd’ex´ecution.Danslecadre delatopologiquealg´ebriquedirige´e,chaqueespacetopologiquesera´egalement pourvud’unestructurequirepre´sentecescontraintes.Selonlanaturedecette structure, on aura desescredpsaoen´son[Nac65], desespace localement ordonn´es, descourants(oustreams[Kri07]) ou desd-espaces[Gra03]. Chacunedecesnotionsdonnelieua`unecategorieainsiqu’a`uned´efinition ´ deac´tgeroeifondamentale. Ces differentes approches s’inscrivent dans un ´ cadrequipermetded´ecrirecetteconstructiondefac¸onge´ne´rale.Enpartic-ulier,lacate´goriefondamentaled’unespacetopologiquen’estautrequeson groupoı¨defondamental[Hig71,Spa95]:cetteconstructione´le´mentairedela topologiealge´briqueestpourl’essentiellaseulea`laquelleilsoitfaitre´f´erence dans ces notes qui, pour autant, ne supposent aucune connaissance en topologie 1“actionstions”ou.”airrustaoounprt“eisnae´isrirc
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alge´brique“classique”. Levocabulairedelath´eoriedescat´egoriesetquelquesunsdesesconceptsde basesontindispensables.Ilssontdistille´s,selonlesbesoins,toutaulongdece coursainsiquequelquesrappelsdetopologiee´l´ementaire.Encequiconcernela the´oriedescate´gories,desouvragestels[Awo06],[Bor94a]ou[Mac98]couvrent (largement) le spectre des concepts dont nous aurons besoin, celui deSteve Awodeyble.essisacculpeletuodsnastnta´e 1.1ProduitCarte´sienetParalle´lisme 1.1.1Cat´egories Unege´taceiroCeltcoidn’tseepniefid´olecunarobjetsot´eenOb(C), une collection demorphismest´noesMo(C), trois “applications”id,sett s Mo(C)ooid//Ob(C) t ainsiqueparune“application”appel´ee(loi de) compositiondeCniefiuresd´ la collection des paires (γ, δ) de morphismes deCtelles ques(γ) =t(δ). L’image de la paire (γ, δontitnes´eoterap)ttecppaeacilγ◦δtepaep´lee´eeocpmsodeδ suivi deγ. Les objetss(γ) ett(γ) sont lasourceet lebutdu morphismeγ. Le morphismeid(xe´tveounont,p)ssluidx, est l’neditit´ede l’objetxees.eCdsno´n formentunecate´gorielorsqu’ellesv´erifientlesaxiomessuivants: La loi de composition est associative Pour tout morphismeγon aidt(γ)◦γ=γ=γ◦ids(γ) Pour tout objetxon as(idx) =x=t(idx) Pour tous morphismesγetδtels ques(γ) =t(δ) XX.on as(γ◦δ) =s(δ) ett(γ◦δ) =t(γ) Uneso´eat-cuseirogdeCnodaltseecllontiuoseoc-see´nnu’dMdeMo(C) et d’une sous-collectionOdeOb(C) telles que sixtrappa`antieO, alorsidxtna`treipaapM siγntde´emen´elestuM, alorss(γ) ett(γppa)itraennea`tnOet siδemtnedestun´el´eMtel ques(γ) =t(δee´sopm,a)colarsloδ◦γappar-tient`aM. Les restrictions des applicationsid,s,tet◦aux collectionsOetMfournissent alorsunestructuredecat´egorie. On dit qu’un morphismeγdexversyest unisomorphismelorsqu’il existe un morphismeδdeyversxtel queδ◦γ=idxetγ◦δ=idy. On dit alors que δ(respectivementγ) est l’inversedeγ(respectivementδ) et on noteδ=γ−1 etγ=δ−1easmhirpmouttoueqefiire´vno(it.Ondrse)nievsunuualpmdte aussi que deux objetsxetysontisomorphes, ce que l’on notex∼=y, lorsqu’il 4