Mathematiques pour le signal discret { Ma32Guy CasaleIRMaR b^ at 21 Beaulieuhttp ://perso.univ-rennes1.fr/guy.casale/ ReferencesA First Course in Mathematical AnalysisDavid Brannan, Cambridge University PressMathematiques BTS-DUT IndustrielsC. Larcher, M. Pariente, J.-C. Roy, Techniplus{ Chapitre 1 : Suites numeriques{ 2 : Series numeriques{ Chapitre 3 : Series entieres{ 4 : Transformee en Z11 Suites numeriques1.1 Quelques de nitions.De nition 1 Une suite numerique est une fonction de N dans R (suite reelle)ou C (suite complexe) qui a un entier n associe un nombre u .nUne suite est notee (u ) ou (u ) et u est appele le terme general de lan n2N n nsuite.Cette notation est une abreviation de (u ;u ;u ;u ;u :::).0 1 2 3 4Exemples 1{ Les decimales d’un nombre : l’ecriture de est (3; 1; 4; 1; 5;:::).{ Suites de nies a partir d’une formule f en prenant les valeurs de f en les2 sinxx +epentiers : Si f(x) = , f de nit une suite u =f(n).njxj { Suites constantes u =c2C pour tout n2N : (c;c;c;c;c;:::).n{ La suite des temperatures (en C) relevees tous les matins a l’IUT : (8:5; 12; 9:2; 7:6; 8;:::):{ Echantillonnage a la periode T d’un signal F :e(F (t );F (t +T );:::;F (t +nT );:::) = (u ;u ;:::u :::):0 0 e 0 e 0 1 nNous verrons d’autres exemples dans la suite du cours.Representations graphiques2Operations sur les suitesSoient (u ) et (v ) deux suites.n nOn de nit la somme (u ) + (v ) terme a terme :n n( u ...
R´efe´rences A First Course in Mathematical Analysis David Brannan, Cambridge University Press Mathe´matiquesBTS-DUTIndustriels C. Larcher, M. Pariente, J.-C. Roy, Techniplus
Deuxcaracte´risationsde la variation d’une suite :
–Unesuitere´elle(unnesti)estssancroir(et.psece´dsiorntsasie)seetemul un+1−unest toujours (resp. ).
–Unesuiter´eelle(un) de nombresstrictement positifsest croissante un+1 (resp.de´croissante)sietseulementsiest un (resp. ).
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D´emonstrationparre´currence. Pourmontrerquequ’uneproprie´t´eP(n) est vraie pour toutn≥n0: 1.Onmontrequelaproprie´te´estvraieaurangn0i.e.P(n0) est vraie. 2. On montre que si pourne´xfi,P(n−1) est vraie alorsP(n) l’est aussii.e. P(n−1)⇒P(n).
1.2 Limites & convergence De´finition3On dit qu’une suite(un)tend (ou converge) versun nombre`si pourtoutepr´ecisionεil existe un rangNtel que pour toutn≥Nles nombresun soienta`unedistanceεde`:
∀ε >0,
∃N∈N
tel que
n≥N⇒ |un−`| ≤ε
1 √ Exemple 2trap’driqsnoa`’uMtronmrgee´´nrieuleatedetnranglasuncertai n+1 −10 est plus petit que10.
S’il existe, le nombre`´eellaespptalimitede la suite (un) et on note
limun=`ouun−→`. n→+∞n→+∞ S’il n’existe pas on dit que la suitediverge.