Cours 9: Algorithmes et physique statistique

Description

Cours 9: Algorithmes et physique statistique
• Mod`ele d’Ising et coupe maximale, NP-compl´etude
• Fonction de partition, polynome de Tutte
• Mod`ele inhomog`ene, calculs dans le cas planaire
• Recuit simul´e, une heuristique inspir´ee par la physique
Gilles Schaeffer INF-551-9: Algorithmes et physique statistique
1-1Mod`ele d’Ising et coupe maximale
Donn´ees: Un graphe G = (X,E), une application J de E dans R,
d´ecrivant l’´energie d’interaction entre sites voisins.
Une configuration de spins est une applicationσ deX dans{−1,+1}
L’´energie associ´ee `a σ est donn´ee par
X X
H(σ) =−M σ(x)− J(e)σ(x)σ(y)
x∈X e={x,y}∈E
Probl`emes: • Trouver la configuration d’´energie minimale.
P
−βH(σ)• Calculer la fonction de partition Z (β) = e .G σ
Gilles Schaeffer INF-551-9: Algorithmes et physique statistique
2-1Mod`ele d’Ising et coupe maximale
Donn´ees: Un graphe G = (X,E), une application J de E dans R,
d´ecrivant l’´energie d’interaction entre sites voisins.
Une configuration de spins est une applicationσ deX dans{−1,+1}
L’´energie associ´ee `a σ est donn´ee par
X X
H(σ) =−M σ(x)− J(e)σ(x)σ(y)
x∈X e={x,y}∈E
Probl`emes: • Trouver la configuration d’´energie minimale.
P
−βH(σ)• Calculer la fonction de partition Z (β) = e .G σ
Une coupe est un ensemble d’arˆetesC telles qu’il existe une partition
X = X ∪ X , X ∩ X = ∅ pour laquelle C = C(X ,X ),+ − + − + −
l’ensemble des arˆetes ayant leurs extr´emit´es dans 2 parts diff´erentes.
Gilles Schaeffer INF-551-9: Algorithmes et physique ...

Sujets

• Graphe complet
• Orbite cristallographique
• Organisation européenne de la recherche et du traitement du cancer
• Affectation (informatique)
• Ubik
• 3-SAT vers clique

Informations

• Publié par: Fokeb
• Nombre de lectures: 68
• Langue: Français

Extrait

1-1

Cours 9:

•

•

•

•

Algorithmes et physique statistique

Mod`eled’Isingetcoupemaximale,NP-comple´tude

Fonction de partition, polynome de Tutte

Mode`leinhomog`ene,calculsdanslecasplanaire

Recuitsimul´e,uneheuristiqueinspire´eparlaphysique

Gilles Schaeffer

INF-551-9: Algorithmes et physique statistique

2-1

Mod`le d’Ising et coupe maximale e Donnees:Un grapheG= (X, E), une applicationJdeEdansR, ´ de´crivantl’´energied’interactionentresitesvoisins. Uneconfiguration de spinsest une applicationσdeXdans{−1,+1} L’greie´enice´saose`aσreepaonn´estd H(σ) =−M X σ(x)− X J(e)σ(x)σ(y) x∈X e={x,y}∈E Probl`emes:•figonaturndioen’´igrenimelami.erTuoevlrca •Calculer la fonction de partitionZ G (β) = P σ e −βH(σ) .

Gilles S

chaeffer

INF-551-9: Algorithmes et physique statistique

2-2

Mode`led’Isingetcoupemaximale Donne´es:Un grapheG= (X, E), une applicationJdeEdansR, de´crivantl’e´nergied’interactionentresitesvoisins. Uneconfiguration de spinsest une applicationσdeXdans{−1,+1} L’egieren´ocssaa`ee´iσest d ´e par onne H(σ) =−M X σ(x)− X J(e)σ(x)σ(y) x∈X e={x,y}∈E Proble`mes:•orTrevu.iminamele´engreirationd’laconfigu •Calculer la fonction de partitionZ G (β) = P σ e −βH(σ) . Unecoupeesetrˆsnenutsea’delbmeCtelles qu’il existe une partition X=X + ∪X − ,X + ∩X − =∅pour laquelleC=C(X + , X − ), l’ensembledesareˆtesayantleursextre´mit´esdans2partsdiff´erentes.

Gilles Schaeffer

INF-551-9: Algorithmes et physique statistique

2-3

Mode`led’Isingetcoupemaximale Donn´ees:Un grapheG= (X, E), une applicationJdeEdansR, d´ecrivantl’e´nergied’interactionentresitesvoisins. Uneconfiguration de spinsest une applicationσdeXdans{−1,+1} L’ne´eierge´ica`esoasσeepardtse´nno H(σ) =−M X σ(x)− X J(e)σ(x)σ(y) x∈ e X ={x,y}∈E Proble`mes:•ouev.eTraliminemgieren’´dnoitarugfinocalr •Calculer la fonction de partitionZ G (β) = P σ e −βH(σ) . Unecoupebmes’deltsenenuˆearsteCtelles qu’il existe une partition X=X + ∪X − ,X + ∩X − =∅pour laquelleC=C(X + , X − ), l’embledesareˆtesayantleursextr´emit´esdans2partsdiffe´rentes. ens Chaqueσ:eniefid´upconetuC σ =C(X + , X − )u`oX + =σ −1 (1).

Gilles Schaeffer

INF-551-9: Algorithmes et physique statistique

2-4

Mode`led’Isingetcoupemaximale Donne´es:Un grapheG= (X, E), une applicationJdeEdansR, d´ecrivantl’e´nergied’interactionentresitesvoisins. Uneconfiguration de spinsest une applicationσdeXdans{−1,+1} L’engreie´asae`´ecisoσontdesrapee´n H(σ) =−M X σ(x)− X J(e)σ(x)σ(y) x∈ e X ={x,y}∈E Proble`mes:•ouTrrugfioitalrevnocagieminimnd’´enerla.e •Calculer la fonction de partitionZ G (β) = P σ e −βH(σ) . Unecoupeeteˆra’dsestunensembleCtelles qu’il existe une partition X=X + ∪X − ,X + ∩X − =∅pour laquelleC=C(X + , X − ), l’ensembledesareˆtesayantleursextre´mite´sdans2partsdiff´erentes. Chaqueσinutenoc´dfiee:upC σ =C(X + , X − )ou`X + =σ −1 (1). PourM= 0etJ <0constant,H(σ) =−|E| ∙J+ 2|C σ | ∙J.

Gilles Schaeffer

INF-551-9: Algorithmes et physique statistique

2-5

Mode`led’Isingetcoupemaximale Donn´ees:Un grapheG= (X, E), une applicationJdeEdansR, de´crivantl’´energied’interactionentresitesvoisins. Uneconfiguration de spinsest une applicationσdeXdans{−1,+1} L’eigrene´icossaa´ee`σest donnee par ´ H(σ) =−M X σ(x)− X J(e)σ(x)σ(y) x∈X e={x,y}∈E Probl`emes:•taoidn´’canogfiruTrouverle.aliminemgieren •Calculer la fonction de partitionZ G (β) = P σ e −βH(σ) . Unecoupeeteˆsestunensembled’arCtelles qu’il existe une partition X=X + ∪X − ,X + ∩X − =∅pour laquelleC=C(X + , X − ), lensembledesareˆtesayantleursextr´emite´sdans2partsdiff´erentes. ’ Chaqueσocen:epufie´dutinC σ =C(X + , X − )u`oX + =σ −1 (1). PourM= 0etJ <0constant,H(σ) =−|E| ∙J+ 2|C σ | ∙J. Trouver la configuration d’Ising d’energie minimale⇔MaxCut.

Gilles Schaeffer

INF-551-9: Algorithmes et physique statistique

3-1

NP-comple´tudedeMaxCut

Onr´eduit3-SATa`MaxCutepem-o3rilvblea`NAESAT´:tetan donn´eunensembledeclausesa`3litte´raux,trouveruneaffectation o`uchaqueclausecontientaumoinsunlitt´eralvraietunlitt´eralfaux.

Gilles Schaeffer

INF-551-9: Algorithmes et physique statistique

3-2

NP-compl´etudedeMaxCut

Onr´eduit3-SAT`aMaxCuteme3obl`leprvia-NAESATate´tn: donn´eunensembledeclausesa`3litte´raux,trouveruneaffectation o`uchaqueclausecontientaumoinsunlitt´eralvraietunlitte´ralfaux. 3-SATude´a`tiers3-NAESAT:soit(C i =x i ∨y i ∨z i ) i=1,...,m une instance de3-SAT; on poseC i 0 =x i ∨y i ∨t i etC i 00 =z i ∨t ¯ i ∨u`uo uet lest i sont de nouvelles variables.

Gilles Schaeffer

INF-551-9: Algorithmes et physique statistique

3-3

NP-comple´tudedeMaxCut

Onre´duit3-SATa`MaxCutbl`eme3-vialeproNAESATtenat´: donne´unensembledeclausesa`3litte´raux,trouveruneaffectation o`uchaqueclausecontientaumoinsunlitt´eralvraietunlitte´ralfaux. 3-SATdeiu`tar´se3-NAESAT:soit(C i =x i ∨y i ∨z i ) i=1,...,m une instance de3-SAT; on poseC i 0 =x i ∨y i ∨t i e 00 ¯ u tC i =z i ∨t i ∨uo` uet lest i sont de nouvelles variables. Il faut voir que(C i )admet une affectation ssi(C i 0 , C i 00 )admet une bi-affectation (ielaeuqahcauseauclert´itnlVraiet unFaux):

Gilles Schaeffer

INF-551-9: Algorithmes et physique statistique

3-4

NP-comple´tudedeMaxCut

Onre´duit3-SAT`aMaxCutem-3lbe`eprovialNAESATtanet´: donne´unensembledeclausesa`3litte´raux,trouveruneaffectation o`uchaqueclausecontientaumoinsunlitte´ralvraietunlitte´ralfaux. 3-SAT`tadeiues´r3-NAESAT:soit(C i =x i ∨y i ∨z i ) i=1,...,m une instance de3 0 i ∨y i ∨t i etC i 00 =z i ¯ o -SAT; on poseC i =x∨t i ∨u`u uet lest i sont de nouvelles variables. Il faut voir que(C i )admet une affectation ssi(C i 0 , C i 00 )admet une bi-affectation (ieauseauclueaqchlalnti´treVraiet unFaux): •s’il existe une affectation telle que tous lesC i soient vraies, on la compl`etepart i =x i ∨y i etu=Faux: c’est une bi-affectation.

Gilles Schaeffer

INF-551-9: Algorithmes et physique statistique

3-5

NP-comple´tudedeMaxCut

Onre´duit3-SAT`aMaxCut3e-rpbo`lmevleiaNAESAT:´etant donn´eunensembledeclausesa`3litt´eraux,trouveruneaffectation o`uchaqueclausecontientaumoinsunlitt´eralvraietunlitt´eralfaux. 3-SAT`sae´retiud3-NAESAT:soit(C i =x i ∨y i ∨z i ) i=1,...,m une instance de3-SAT; on poseC i 0 =x i ∨y i ∨t i etC i 00 =z i ∨t ¯ i ∨uo`u uet lest i sont de nouvelles variables. Il faut voir que(C i )admet une affectation ssi(C i 0 , C i 00 )admet une bi-affectation (iehacuslaecquttilnuaelare´Vraiet unFaux): •s’il existe une affectation telle que tous lesC i soient vraies, on la compl`etepart i =x i ∨y i etu=Faux une bi-affectation.: c’est •s’il existe une bi-affectation de(C i 0 , C i 00 ): ¯ – soitu=Faux, alorsz i ∨test vraie doncx i ∨y i ∨z i est vraie. – soitu=Vrai, alors nier toutes les valeurs des variables...

Gilles Schaeffer

INF-551-9: Algorithmes et physique statistique