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Publié par | geometrie-mpsi |
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Langue | Français |
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Courbes en coordonnées cartésiennes
Exercice 1Mines-Ponts MP[ 03064 ][correction]
[Astroïde]
a) Etudier et représenter la courbe définie par
x=t
(y=sinsco33t
b) Trouver le lieu des pointsHtels queHest le projeté orthogonal deOsur la
normale à la courbe en un point donné
Exercice 2[ 00587 ][correction]
Soitt7→M(t)un arc régulier tel qu’en tout pointM(t)la tangente soit
Dt: (t3+ 3t)x−2y=t3
Réaliser un paramétrage en coordonnées cartésiennes de l’arc étudié et le
représenter.
Exercice 3Mines-Ponts MP[ 00591 ][correction]
a) Etudier la courbe
(yx=2=3tt32
Enoncés
b) Donner une équation de la tangente et de la normale enM(t).
c) Déterminer les droites qui sont à la fois tangentes et normales à cette courbe.
Exercice 4[ 00590 ][correction]
a) Etudier et représenter la courbe définie par
(xy=4=3tt43
b) Former une équation de la tangente au point de paramètret∈R.
c) Déterminer un paramétrage du lieu des points d’où l’on peut mener deux
tangentes à la courbe précédente orthogonales et étudier cette courbe.
Exercice 5[ 01348 ][correction]
Etudier la courbe définie par
(xy==ssococ2ttn+sitln|sint|
Exercice 6CCP MP[ 02581 ][correction]
Etudier et représenter
(xy((ttn)c=ssoi)=2ttc+ostln|sint|
Exercice 7CCP PSI[ 03386 ][correction]
a) Etudier les variations de
3 3t
x=t2+t+ 1ety=t2+t+ 1
b) Montrer que la courbeCainsi définie est inscrite à l’intérieur d’un carré à
préciser.
c) Donner l’allure deC.
d) Donner une équation cartésienne deC, quelle est la nature deC?
1
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Corrections
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
a) L’applicationt7→M(t)est définie et de classeC∞surR.
M(t+ 2π)etM(t)sont confondus.
M(−t)est le symétrique deM(t)par rapport à l’axe(Ox)
M(π−t)est le symétrique deM(t)par rapport à l’axe(Oy)
M(π2−t)est le symétrique deM(t)par rapport à la droitΔ :y=x.
On peut limiter l’étude à l’intervalle[0 π4]. La courbe obtenue sera complétée
par les symétries d’axeΔ,(Oy)puis(Ox).
Tableau des variations simultanées
Etude ent= 0
Quandt→0
(yx00((tt3))==−cs3iostnstcin2ost2t
t
x0(t)
x(t)
y(t)
y0(t)
m(t)
0
0
1
0
0
?
−
&
%
+
−
π4
−3√8
2−32
2−32
3√8
−1
xy((tt)=0=)1t−2+23tt2+ 0t3+o(t3)
3+o(t3)
p= 2,q= 3,u0−32etv~10.
~
La tangente est horizontale et il y a point de rebroussement de première espèce.
plot([cos(t)ˆ3, sin(t)ˆ3, t=0..2*Pi]);
2
L’astroïde b) En un point régulierM(t)la normale étant la droite perpendiculaire
enM(t)à la tangente en ce point qui est dirigée par le vecteur vitesse, cette
droite à pour équation
x0(t) (x−x(t)) +y0(t) (y−y(t)) = 0
Après simplification, on obtient l’équation
−cos(t)x+ sin(t)y+ cos(2t) = 0
et cette équation est encore valable lorsque le pointM(t)n’est par régulier.
Le projeté orthogonal du pointOsur cette droite est un pointHde coordonnées
(x0 y0)vérifiant
−cos(t)x0+ sin(t)y0+ cos(2t0) = 0
ost
∃λ∈Rxy00!=λ−sinct!
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C’est le point de coordonnées
cos(2t) cos(t
(yx00==−cos(2tis(n))t)
Le lieu des pointsHapparaît alors comme étant la courbe d’équation polaire
r= cos(2t)
Corrections
r(t+π) =r(t),r(−t) =r(t)etr(π2−t) =−r(t).
On peut limiter l’étude à l’intervalle[0 π4]et l’on complète la courbe par :
- la symétrie orthogonale par rapport à la perpendiculaire à la droite d’équation
θ=π4;
- la symétrie orthogonale par rapport à l’axe des abscisses ;
- la symétrie de centreO.
Le tableau de variation de la fonctionrest
t
r(t)
0
1
&
π4
0
Enθ= 0
r(0) = 1 r0(0) = 0, il y a une tangente orthoradiale.
Enθ=π4
r(π4) = 0, il y a passage par l’origine, la tangente est la droite d’équation polaire
θ=π4.
La courbe d’équation polairer= cos(2θ)
Exercice 2 :[énoncé]
(t)x(t)
My(t)etdO−d−tM→(t)yx00((tt))6=~0.
M(t)∈Dtdonc
(t3+ 3t)x(t)−2y(t) =t3(1)
−−2
dOdtM→(t)est colinéaire à~utt3+ 3tonc
vecteur directeur deDtd
(t3+ 3t)x0(t)−2y0(t) = 0(2)
3
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En dérivant (1) et en exploitant (2) on obtient :
(3t2+ 3)x(t) = 3t2
Corrections
doncx(t) =1+t2t2puisy(t)1t+3t2.
=
L’applicationt7→M(t)correspondante est définie et de classeC∞surR.
M(−t)est le symétrique deM(t)par rapport à l’axe(Ox).
On peut limiter l’étude à l’intervalle[0+∞[. La courbe obtenue sera complétée
par la symétrie d’axe(Ox)
Tableau des variations simultanées
Etude ent= 0
Quandt→0
On en déduit
t
x0(t)
x(t)
y(t)
y0(t)
m(t)
0
0
0
0
0
?
+
%
%
+
+
+∞
1
+∞
(xy((tt)=)0=t2t20++tt33++oo((tt33))
1
p= 2,q= 3,u~
0,
0
~
v
1
M(0)est un point de rebroussement de première espèce de tangente horizontale.
Etude quandt→+∞
x(t)→1−t(t)→+∞
ey
La droiteΔ :x= 1à la courbe et celle-ci est à gauche de la droite.est asymptote
plot([tˆ2/(1+tˆ2), tˆ3/(1+tˆ2), t=-5..5], view=[-1..1, -2..2],
xtickmarks=[-1, 0, 1]);
4
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La courbex=t2(1 +t2) y=t3(1 +t2)
Corrections
Exercice 3 :[énoncé]
a) L’applicationt7→M(t)est définie et de classeC∞surR.
M(−t)etM(t)sont symétriques par rapport à(Ox).
Etude limitée à[0+∞[. La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d’axe
(Ox)
x0(t) = 6t
(y0(t) = 6t2
x0
(y0((tt)=0=)0⇔⇔tt=0=0
t
x0(t)
x(t)
y(t)
y0(t)
m(t)
0
0
0
0
0
?
+
%
%
+
+
+∞
+∞
+∞
Etude ent= 0
(x(t) = 3t2+ 0t3
y(t) = 0t2+ 2t3
3 0
p= 2,q= 3,~u0,v~2
M(0)de rebroussement de première espèce avec tangente horizontale.est point
Etude quandt→+∞
yx((tt))→+∞etx(t)→+∞
Il y a une branche parabolique verticale.
plot([3*tˆ2, 2*tˆ3, t=-5..5], view=[-1..4, -4..4]);
La courbex= 3t2 y= 2t3
5
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b) Pourt6= 0, la tangenteDtenM(t)a pour équation
−t2(x−3t2) +t(y−2t3) = 0
soit
tx−y=t3
Pourt6= 0, la normaleNtenM(t)a pour équation
t(x−3t2)−t2(y−2t3) = 0
soit
tx−t2y= 3t3−2t5
Ces équations sont encore valables pourt= 0.
c) La tangenteDtest normale à la courbe au pointM(τ)si, et seulement si,
3tτ2−2τ3=t3
(tτ+t2τ2= 0
ce qui traduitM(τ)∈ Dtet l’orthogonalité des tangentes enM(t)etM(τ).
Sit= 0alorsτ= 0mais le couple(00)n’est pas solution.
Sit6= 0alorsτ