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Publié par | exercice-mpsi |
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Langue | Français |
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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
Propri´ete´sdesconiques
CONIQUES
Exercice 1 :SoitDune droite du plan etFupniortenantpntn’appaa`saD.
1.Montrez que par tout pointM∈ P (D ∪ {F}) passe une unique coniqueCde
directriceDet de foyerF.
2.ilsaeecztru´nPadereCsuivant les positions deM.
Exercice 2 :SoitDune droite etMuse´utisrduntoinpon(nanpluD). Quel
ensembled´ecriventlesfoyersdesparabolesdedirectriceDpassant parM?
Exercice 3 :SoitHune hyperbole. On suppose que les asymptotes deHsont or-
thogonales. Montrez queHtc´eentdr’iceixeste=√2.
Vocabulaire :on dit queHest unehleboeryptaliuqe´ere`.
Exercice 4 :SoientDune droite,A∈ P Detd∈R+⋆.
D´eterminezlelieudespointsMtels queAM+d(MD) =d.
Exercice 5 :SoitEqe’despille’lteuiedr´ontiuaxa22+yb22,1`o0u=< b < a. Soit
´
M0un point deEa`e´”al,utisverticale” d’un foyerFdeE.
D´eterminezlesintersectionsdelatangente`aEenM0avec les axes de l’ellipse.
Exercice 6 :SoientFetF′rnpaoptre´a`nuordeuxpointsdupla0(dn~ı~) tels
queF F′= 6.
1.ensedel’uiter´editnoqeaulz´’imeneretD´elbmMifiertanniop´vstsedM F+M F′=
10.
2.Tracez cet ensemble.
Exercice 7 :Soitα∈]−π π[.Oncosenueellpisndie`erEde centreO∈ PetEα
l’image deEpar la rotation d’angleα.
Montrez que les quatre points d’intersection deEetEαsont les sommets d’un
losange.
R´eductiondescourbesalge´briquesdedegr´2
e
1
semaine du 27 novembre 2011
Exercice 8 :Pour toutλ∈Rocalere`ebrunsidoncoCλ’dioatqu´enensite´aren:c
x2+ 2λxy+y2−2x+ 2y= 0
1.´Drete.esqunicouoetcssemmnu`stapointscominezles
2.Discutez la nature deCλsuivant la valeur deλ.
3.cedeonscueiqs?evireltnnecssert´dceilueuQle
Exercice 9 :qutiiserprreetestneme´le´tcaracstnzee´eselsnezlanature,les´´Dtereim
coniquesd’´equationssuivantes:
1.3x2+ 4y2−6x+ 16y+ 7 = 06.x2−xy+y2= 1
2.4y2−x2−2x−8y= 17.5x2+y2−10x+ 4y+ 4 = 0
3.5x2+ 7y2+ 2√3xy= 48.x2−4y2+ 4x+ 8y−4 = 0
4.x2+xy+y2= 19.x2+√3xy+x= 2
5.2x2+√3xy+y2= 110.x2+ 2xy+y2+ 4√2 (x−y) = 0
Coniquesencoordonne´espolaires
Exercice 10 :Soit (~O~ı)utsepernere`thororonldmaeciritSot.Dune droite du
plan ne passant pas par l’originie ete∈R+⋆. Soit Γ la conique de directriceD,
de foyerOee’dtit´excentrice’le´uqtatnerqzeu.Mo`eepnrsureialopnoinadΓeder
(~ı~O) est
p
=
ρ1 +ecos(θ−α)
o`uα≡(ı~u~rteng’aorlentieen´etse)menuruselede~ıet un vecteur directeur~ude
l’axe focal.
R´eciproquement,lacourbeΓd’´equationpolaireρ= 1 +ecops(θ−α)est la conique
•de foyerO,
•d’axe focal la droiteθ=α
•laireauitnooptide´’qertcerideordalecidρ=ecos(θp−α) .
Exercice 11 :Soient (~~ıOoniqΓlacctetdiremrlaohonoetr`pre)reuneu
p
.
d’e´quationpolaireρ += 1ecosθ
1.´eDrmteezin´el’tauqpnoiialoederlatangente`aΓaupiotnedapar`mteerθ0.
2.Montrez que la portion de tangente entre le point de conctact et la directrice
est vu du foyer sous un angle droit.
Exercice 12 :alzenimrete´D
d’e´quationspolaires
1
1.ρ= 1 + sinθ
2.ρ=12c+soθ
3.ρ2θ
=
1 + 2 cos
Etplussiaffinit´es
nature,
l’excentricite´etlessommetsdesconiques
10
4.ρ 3 cos= +θ
2
5.ρ62=(θ−π4)
+ cos
62
.ρ=√2 + cosθ+ sinθ
Exercice13:Affinit´esorthogonales
Soit Δ une droite etk∈R {01}. Pour tout pointMdu plan, on noteHleprojet´e
orthogonal deMsur Δ etM′l’image deMmotolrh’eied´hterecentpaHet de
rapportk.
Onconside`rel’applicationf:P → Pparf(M) =M′.fesdeaenffitie´atpplee´
base Δ et de rapprotk.
1.SoitOun point de Δ etı~ert´acar.CeΔedirzesiecteunvinatueurertcruid
analytiquement l’applicationfohonmre´(nsdareunerp`rteoO~~).
2.SoitC=C(Ω Run crecle du plan. Quelle est la nature de) f(C) ?
3.Soit (a b)∈R2tel que 0< b < aetEiudeetitau´rnoedpseq’´l’lielxa22+yb22= 1.
a.SoitCdedeai`mlcerelc[reetAA′]. Quelle est l’image deCrapeor-nit´l’affi
thogonale de base (AA′) et de rapportba.
b.SoitCrte`maid[eleledecercBB′]. Quelle est l’image deCaplra’nffitie´
orthogonale de base (BB′′) et de rapportab.
Exercice 14 :Soit (~O~ıunre)mrlaohonoetr`pred`sionnc.Octredinoitacilppa’lere
ϕ:P → Pqui ` tout pointMxyassocie le pointM′yx′′o`u
a
4x−y+ 1
4y′′=3=−xx+ 3y+ 1
1.Montrez queϕtuest´niaffinepr´evousrezlciseohogoetrodtnanelsabalteee
rapport.
2.Dte´einrmezϕ−1.
2
3.SoitCed’´equationlcauobr
5x2+ 5y2−6xy−10x+ 6y−11 = 0
De´terminezune´equationdel’imagedeCparϕ. Quelle est la nature deϕ(C) ?