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Publié par | exercice-mpsi |
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Langue | Français |
Extrait
MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
Courbesd’e´quationy=f(x)
´ ´
COURBES PLANES PARAMETREES (I)
Exercice 1 :tEdueiesentezlzetrepr´´’dsauqeocseebruest´nnieontiarscsey=f(x),
ou
`
1.f(x) =√x2+ 3x−4.
2.f(x) = sin2x+ cosx.
3.f(x) =x+ ln(1 +ex).
Courbes en coordonnees cartesiennes
´ ´
Exercice 2 :eiezrtpe´rseneetEtudsee´rte´seinfie´durcoeszlamarspbepar
x 3= cost5.xysoc=in=s33tt
1.
y 2= sint
1−t2x=th
2.x1=t+3t26.1−tt
y=yh=ct
1 +t2
17.x=t−sint
3.x=tt3+ 2 = 1−ct
y=tyos
x= 3t−t348.yx=1=1t++t2tt33
4.
y= 2t2−t
Exercice 3 :l’tΓoiSpnalpcrarte´mara´epar(xy((tt=))=tnlltntt.
1.inrmleezmadoedine´detinfidnoi.ΓeDe´et
2.Soitt∈R⋆. ComparezM(t) etM(1tmodelne-zesiude´Γ.dedetu´ed’neai).D
3..lz´’teducAehevesentezΓeetrepr´
1
semaine du 17 novembre 2012
Exercice 4 :
1.Etudiez la courbeγd´ex= 1
finie part2−t
t
y=−1
t2
2.Montrez queγtnodpnio.buelpedeuoss`
3.Ver.sontperpendiculaitnegneseopecstniri´ezqfieleueanst
Exercice 5 :
1.Etudiez la courbeγarepniefid´xy==tt2−−1tt
2.Montrez queγeparetunadmitevsoisneralspleitosecr´ezisotpmP.etlobaysae
deγet de cette parabole.
Courbesd’´equationρ=ρ(θ)
Exercice 6 :onpouati’´eqbesd:ealrizeieeptrudEtselzruocse´retne
1.ρ=pcos(2t)5.ρ= 1 + cosθ
2.ρ= sin(3θθ)
sin
3.ρ 3= cosθ
4.ρ 4= cosθ
6.ρ= tanθ
7.ρ= sin2θ
cosθ
8.ρ= cos 2θ
cosθ
Exercice 7 : Cisso¨ıde droite
1.dueitEourbzlacequaed’´alopnoiteriρconis=2θθ.
s
2.SoitMtnerˆpudd,ebe´ffiteeturcoinpoectdteoulne.OnnoP(θ) l’intersection
de la droiteOM(θ) tionavec la droite d’´x= 1, etQle point de l’axe
equa
(Oyd)meemeˆodroe´nneuqeP.
Montrez que le triangle (M P Q) est rectangle enM.
3.etrmpe´ecodenttaueriude´de´corpndi´e´etue.iuersnrtruebalocEnd
Exercice 8 :beurcolaezactrs,erialopsee´nnodrncooantepassEnfieineudlpna´d
implicitement par
2xy(x2+y2) =x2−y2
Courbesd’´equationg(ρ θ) = 0
Exercice 9 : Equation polaire d’une droite
SoitDortinudealdndepueq’´tiuacaon´ertneisenax+by=c, avec (a b)6= (00).
1.Sic= 0, montrez queD tionadmet ´ polaire
pour equa
2.
θ=θ0
o`uθ0serunumeetsientleor’angedelnee´(ertOx) etD.
Sic6= 0, montrez queDadmet pour equation polaire
´
c
ρ=acosθ+bsinθ
Exercice 10 : Equation polaire d’un cercle
SoitCeeinn´tsencaratio´equand’elcrlpudecnux2+y2−2ax−2by
c+a2+b2≥0.
1.Si (a b) = (00), montrez queCadmetpour´equanoitaloperi
ρ=pc+a2+b2
2.Sic= 0, montrez queC \ {O} polaire ´quation poadm t
e ur e
ρ= 2acosθ+ 2bsinθ
=
c,
avec
2
MPSIdulyce´eRabelaisps/msai.tbineurith/:ptr.feefrc.
Exercice 2 .— 1.x
y
x=
1−t2
1 +t2
2.t3
y += 1t2
1
3.xy==tt3+ 2
t
4.yx3=2=tt2−−t3t4
5.xysco=in=s33tt
•
=
=
cos 3t
sin 2t
Re´ductiondel’intervalled’e´tude
•xetyos´dtninfieetescldeseasC1surR. De plus
•
CORRECTION DES EXERCICES
xetysont 2πdellnole--p´eriodique,snoertsernilt´’etude`auninterva
gueur 2πna,oinl’egt´lirasupu´tdeed.Γoptr
•xest paire etyest impaire→0r[usedute´ πpportrieparrapu]etm´syis
a (Ox).
`
•x(π−t) =−x(t) ety(π−t) =y(t.P)neuqtocrae´snM(π2−t) etM(π2+t)
sontsyme´triquesparrapporta`(OyOn).dute´’ltniertser[a`e02π] puis
oncompl`eteparsym´etrieparrapporta`(Oy).
•x(π2−t) =y(t) ety(2π−t) =x(t). (posezt=4π+h) Autrement dit,
M(π4+h) etM(π4−honts)srebis-erpae`imroppla`tspueraar´eymiqtr
sectriceΔ.Onpeutdoncrestreindrel’e´tudesur[04π´lpmocsiup]eter
parsym´etrieparrapporta`Δ.
aon e
Bil n :´tudie Γ sur [0π4]pncomuisoneete`lpasilitu
symetriesparrapport`aΔ,(Oy) et (Ox).
´
´
•sn´eeEedutvsediaarontiimsstaul
Soitt∈[0π4]
x(t) = cos3t
x′(t) =−3 cos2tsint
x′(t)>0⇐⇒t >0
x′t= 0⇐⇒t= 0
nt successivement les
y(t) = sin3t
y′(t) = 3 sin2tcost
y′(t)>0⇐⇒t >0
y′t= 0⇐⇒t= 0
3
4.
Letableauci-contrere´sumecespropri´et´es:
t
x′(t)
x(t)
y(t)
y′
04π
0−2−√32
1ց12√2
0ր2√21
0 +32√2
S
semaine du 17 novembre 2012
´
•taesenngsptetiartEdeduucile`ers
Nb : limsi la limitey′( ¯ alors Γ ad
t→0+x′(tt)=)ℓexiste (dansR au point), metM(0)
une tangente de penteℓCommex′ety′s’annulent en 0, le pointM(0) de
coordonne´escarte´siennes(1negnetreniataltstaoinn0e)tsrd´etermaire.Pou
(sielleexiste)encepointone´tudielalimitedurapporty′x′en 0 :
y′(t sin) 32tcostsint
=−=−−
x′(t) 3 cos2tsintcostt→−0→0
Ainsi, Γ admet au pointM(0)
tangente horizontale.
•Pas de branche infinie.
•bealedruocrTe´ca
x
y
−1
1
0
−1
=t−tht
1
=
0
1
une
tangente
de
pente
nulle,
c’est-`a-dire
une
5.
•
•
xetysnodte´laecessiefintdseC1surR. Comme de plus,xest impaire ety
estpaire,onrestreintl’e´tudea`R+ysrate´mpeirarraorpptoncopuisetepmpl`
a`(Oy).
Soitt∈R+.
x(t) =t−tht
x′(t) = th2t
x′(t)>0⇐⇒t >0
x′(t) = 0⇐⇒t= 0
t0
x′(t) 0
x(t) 0
y(t) 1
y′(t) 0
S
y(t) = 1
chtsht
y′(t) =−t
ch2
y′(t)<0⇐⇒t >0
y′(t) = 0⇐⇒t= 0
+∞
+
ր+∞
ց0
−
BI
´
•tudedestEaptrcilu`niareegstense
′(t)=−1−→−−−∞deeso`s,pΓ
Le pointM(0) est stationnaire. Commexy′(t) shtt→0+
une tangente verticale en ce point.
´
•Etude des branches infinies
Au voisinage de +∞, on a
x(t) =t−tht−−−−→+∞
t→+∞
y(t) = 1cht−t−→−+−∞→0
Ild´ecouledirectementdelamethodeclassiquequeladroited’´ationy= 0
equ
estasymptotea`Γ.
−3
−2
−1
1
0
0
x=t−sint
y= 1−cost
•ondel’inR´eductiedute´’dellavret
1
2
3
4
•xetysont de classeC1surR.
•x(t+ 2π) = 2π+x(t) ety(t+ 2π) =y(t). Le pointM(t+ 2πdes)ude´ti
deM(t) par translation de vecteur~u= 2πı~reOn.tlinrest`edute´’nua
intervalle de longueur 2πssiveccesnoosucsnpaliituea`restnmaopltpr
de vecteuru~.
•xest impaire ety`a[0’le´utedsertietnnr,oreaitpes πuisoncom]pe`lpet
parsyme´trieparrapport`a(Oy).
•rrpaeiapa`optrpasd´etresym2π
´
•umissnoisee´natledudEtatrivaesSoitt∈[0 π].
!!`al’instantt0=o,one´viedseuedsnofxerbsquveeselerd´ennodroocsnoitces
´
s’annulent :M(0) est un point stationnaire
•
•
x(t) =t−sint
x′(t) = 1−cost
x′(t)>0⇐⇒t >0
x′(t) = 0⇐