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Langue | Français |
Extrait
MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
PROGRAMME DE COLLE S03
semaine du 3+1erseptembre 2011
NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit
NOMBRES COMPLEXES
Notationalg´ebriquedesnombrescomplexes
The´or`eme*.—Pour tout nombre complexez∈Cil existe un couple de nombres, r´eels(x y)∈R2,unique, tel que
z=x+iy
De´finition:Lrerbmone´eelxestal´elappeitrepraele´ledezntee´toRez,yatsepeapell´partie imaginairedez
etnot´eImz. Le nombre complexex−iypatseeell´pe´egujuoncdez, on le notez¯.
Th´eor`eme*.—Pour tout couple (z z′)∈C2de nombres complexesz=z′⇐⇒
•Rez=Rez′
•Imz=Imz′
Proposition.—Formulesdubinˆomeetidentit´eg´eom´etrique—.
∀(a b)∈C2∀n∈N an+1−bn+1= (a−b)×nkX=0akbn−ket (a+b)n=k=Xn0knakbn−k
Illustration :omscremb.esexplirtedeuq´gno´moendionoes’aelitddnaocpmelellppr´etatixe,inter
De´finition:Soitz∈Cun nombre complexe. Le nombrezz¯etsfitianO.leppelnounrembeer´oslpmoduledez, et
on note|z|lnemorbree´lefitisop|z|=√zz¯ =Rez2+Imz2.
Nombres complexes complexes de module 1
D´efinition:Soitθ∈R, on appelleexponentielle imaginaire d’angleθ, et on noteeiθle complexe :
eiθ= cosθ+isinθ
Proposition*.—Repr´esentationdesnombrescomplexesdemodule1
•Pour tout nombre complexez∈ U, il existeθ∈Rtel quez=eiθ,
•Pour tout couple (θ θ′)∈R2´redslee,eiθ=eiθ′⇐⇒θ≡θ′[2π]
The´or`eme.—Re`glesdecalculpourl’exponentielleimaginaire—.Pour tout couple (θ θ′)∈R2r´deslee
1 ei0= 1 3 e−iθ= 1eiθ=eiθ
2 ei(θ+θ′)=eiθ×eiθ′4 ei(θ−θ′)=eiθeiθ′
The´ore`me.—Formulesd’EuleretMoivre—.tu´rruotoPleeθ∈Ret tout entier relatifn∈Z,
Eulercosθ= 1ei iθMoivreeiθn=einθ
sinθ221=ieθiθ+−ee−−iθ cosθ+isinθ)n= cosnθ+isinnθ
Applications`alatrigonom´etrie
Lemme.—
Factorisation d’une somme d’exponentielles imaginaires —.Soit (θ1 θ2)∈R2, alors
θ1−θ2
eiθ1+eiθ2 2= 2 coseiθ2+1θ2
eiθ1−eiθ2= 2isinθ1−θ2eiθ21+θ2
2
1
Proposition*—Rappelsdetrigonom´etrie—.Formules d’addition, de duplication, de transformation de produit
.
en somme , de sommes en produit (cfprogramme de S01bis)
Savoir-faire.—rtgioisnnotcdtfeoduiunpriser´earrevninoitare´po’tlseueiqtr´eomonformulesdeesnetulisinaltsenil
trigoeten utilisant lesformules d’Euler, MoivreetNewton.
Notation exponentielle d’un nombre complexe non nul
Proposition.—Soitz∈C⋆un nombre complexe non nul. Ilexisteuree´le(scnuolpdeρ θ)∈R+⋆×Rtel que
z=ρeiθ=ρcosθ+isinθ
Cette´ecritureestappele´exeemenopeitnoellriutnogoetm´quriefrodu nombre complexe non nulz.
D´efinition:Siz∈C⋆trice´’s,z=ρeiθmeneasritesecn´,ρ=|z|. On appelleun argumentdez, et on notearg(z)
toutnombrere´eltelquez=|z|eiarg(z)
.
The´ore`me*.—Pour tout couple (z z′)∈C⋆×C⋆de nombres complexes non nuls :
(z=z′)⇐⇒••arg(|zz)|≡=|azr′g|(z′) [2π]
Illustration :serbpmocexel.siplicationdesnome´rtqieuedalumtlatetr´rpom´engioetni
De´finition:Soitz=x+iyitl’lgnaioatotnnenfie´dnO.euqirbe´exponentielle dezparez=ex+iy
excosy+isiny)
Racni`
inesemesd’un nombre complexe
The´or`eme.—Soitn∈N,n≥2. Notonsωn= exp2πni. L’ensembleUndesracinesnis`emeinu’e´tdel
n
Un={ωkn;k∈Z}={1 ωn ωn−1}
=exeiy
est :
=
Illustration :Repr´esentaitnoedrscanisen`emeside 1.
`
Th´eore`me.—Racinesniemesdea—.Soitn∈N,n≥2 eta∈C⋆. On noteωn= exp(2iπn). Soitζ0une solution
particuli`ereequation’´eldzn=a, par exempleζ0=n|a|eiargna. Alors
S={ζ0 ζ0ωn ζ0ωn2 ζ0ωnn−1}={n|a|eiargnan|a|eiargna+2πn|a|eiargna+4π n|a|eiarga+2(nn−1)π
}
Autrement dit, on obtienttoutesles racinesni`emesdea∈C⋆en multipliant l’uned’entre elles partoutesles racines
ni`emesidteuln’.´e
Savoir-faire.—gle´rbqitotaoianr´eesenncinescardlucarselac.ue
Applicationauxe´quationspolynomiales
Proposition.—Soienta∈C⋆,b, etc∈C. Posons Δ =b2−4acrapsetdgnon´esiδlpxese)u’lcarsedenrrcaesinom(ces´e
deΔ.Alorsl’´equationdudeuxie`medegre´az2+bz+cdistons(lutiuxsonoudocfnseuonitcntsoui)qespo=0`essdede
do ´es par :
nne
−b−δ−b+δ
z1=z2=2a
2a
De plus, pour toutz∈C, nous avons la factorisation :az2+bz+c=a(z−z1)(z−z2)
Corollaire*.Soit (σ ρ)∈C2. Les solutions dansC2dt`emusys´’deauqenoitszz1+×zz22==σρ
—
1
complexesdontlescoordonn´eessontlessolutionsdel’e´quationpolynomialez2−σz+ρ= 0.
Savoir-faire.—ylopimonauqenoiturPos´le,3reeirua`gr´esup´alesdede
•
•
trouverunesolutionparticuli`ere(´evidenteouensuivantlesindicationsdel’´enonce´),
effectuerunchangementd’inconnuepourseramenera`une´equationdeplusbasdegre´
2
sont les couples de