Universite de Nice Annee Nice Polytec MMDFA

Description

Niveau: Supérieur
Universite de Nice Annee 2011-2012 Nice-Polytec MMDFA Cours 2 : Credit et microcredit Cette lec¸on est une modeste excursion dans un vaste et important chapitre de la finance mathematique qui concerne le credit et les taux d'interets. L'interet est avant tout la remuneration, sous la forme de versements periodiques, d'un pret consenti par un preteur a un emprunteur. C'est probablement l'une des activites finacieres les plus anciennes, deja pratiquee dans la plus haute antiquite. Pour le preteur, l'interet est le prix de la renonciation temporaire a une consommation et pour l'emprunteur c'est le prix paye pour une jouissance immediate. Au fil du temps les interets, accuses d'appauvrir les uns au profit d'autres ont fait souvent l'objet d'interdiction ou de limitations. Ils sont perc¸us de fac¸on bien differente selon les cultures et selon les religions. Ainsi la Bible (dans l'ancien testament) et le Coran contiennent des passages qui condamnent fermement la pratique du pret a interets. Les choses ont ete codifiees dans la religion juive par l'interdiction de demander des interets. Cette meme regle a ete aussi longtemps en vigueur dans la religion catholique. Les protestants ont contribues a la levee progressive de son interdiction dans les pays europeens, restee pourtant en vigueur jusqu'en 1830. Pour l'islam, l'interdit subsiste et le developpement recent de banques islamiques fonctionnant sur des principes differents en est une consequence importante.

• interets sur la base du taux-court


• taux d'interet


• connaissance des prix des zeros


• taux actuariel


• vigueur dans la religion catholique


• interets


• instituts de micro finance


• zero-coupon

Sujets

• Taux d'intérêt
• Taux actuariel
• Intérêt
• Zéro-coupon

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
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• Langue: Français

Extrait

Universit´edeNice Nice-Polytec

Cours2:Cr´editetmicrocr´edit

Ann´ee2011-2012 MMDFA

Cettele¸conestunemodesteexcursiondansunvasteetimportantchapitredelafinancemath´ematique quiconcernelecr´editetlestauxd’inte´rˆets. L’inte´rˆetestavanttoutlare´mune´ration,souslaformedeversementsp´eriodiques,d’unprˆetconsenti parunpre´teura`unemprunteur.C’estprobablementl’unedesactivit´esfinacie`reslesplusanciennes,de´ja pratique´edanslaplushauteantiquit´e.Pourlepr´eteur,l’inte´reˆtestleprixdelarenonciationtemporaire a`uneconsommationetpourl’emprunteurc’estleprixpaye´pourunejouissanceimme´diate. Aufildutempslesint´erˆets,accuse´sd’appauvrirlesunsauprofitd’autresontfaitsouventl’objet d’interdictionoudelimitations.Ilssontper¸cusdefac¸onbiendiff´erenteselonlesculturesetselonles religions. Ainsi la Bible (dans l’ancien testament) et le Coran contiennent des passages qui condamnent fermementlapratiquedupreˆta`int´erˆets.Leschosesonte´t´ecodifie´esdanslareligionjuiveparl’interdiction dedemanderdesint´erˆets.Cettemeˆmere`glea´et´eaussilongtempsenvigueurdanslareligioncatholique. Lesprotestantsontcontribue´s`alalev´eeprogressivedesoninterdictiondanslespayseurope´ens,rest´ee pourtantenvigueurjusqu’en1830.Pourl’islam,l’interditsubsisteetlede´veloppementr´ecentdebanques islamiquesfonctionnantsurdesprincipesdiffe´rentsenestunecons´equenceimportante.Quoiqu’ilensoit laquestiondel’int´ereˆtresteunsujetsensiblequiestencoresouventperc¸udiff´eremmentselonlesorigines culturelles des intervenants.

1 Capitalisationet actualisation Leprincipedebasedelacapitalisationestqu’unEuroaujourd’huin’estpas´egal`aunEurodemain mais qu’il vaudra alors (un peu) plus : c’est ce que l’on appelle lavaleur temps de l’argent. Ainsi un montantB 0 daocpelpenuire´ude´tnarδtaccueinmulurˆetnt´eB 0 ρ >0 et vaudra doncB 0 (1 +ρsuisl’`a)e decettep´eriode.Onparled’selint´erˆetssimplqsro’leu´tniˆeercctaulumes´eteedoire´pueaqch`ameˆeemtl donc,a`l’issueden´erip,doseT=nδt, il vaudraitB 0 (1 +nρtouqeereplutˆnconsid`re´no,lae,sie´gnMa). lesint´ereˆtsaccumule´spendantunepr´erioderapportent`aleurtourdesint´erˆetsdurantlape´riodesuivante et ainsi de suite : c’est la formule desint´erˆetscompos´es. Ainsi le montantB 0 vaudra encoreB 0 (1 +ρa)` 2 l’issuedelapremi`erep´eriodemaisilvaudra[B 0 (1 +ρ)](1 +ρ) =B 0 (1 +ρussi’la`uedaledei)xe`emte n B T =B 0 (1 +ρs)apr`enperiodes. Lasuitedequantit´esB 0 , B δt , . . . , B T g´eosiongreseprocnnutnodroemf1+n(osiaredeuqirte´mρ) (alorsquedanslecasd’inte´reˆtssimplec’estuneprogressionarithm´etique).Sil’onde´signe,comme pre´ce´demment,partles instants successifs multiples deδt,t∈ {0, δt,2δt, . . . , nδt=T}nfitits,elio’dne´ reuqletlee´rcmolenombreme´etant rδt e= 1 +ρ nombre que l’on appelle ledxi’tuainucontrˆetnt´etidealusseutr,´onperiree´ecB kδt =B t comme une fonction exponentielle du temps rt B t =B 0 e, avecB 0 etreopminatredetegi´e`al,sa1spanosvunectohsieil´te´ar´gne. C’estcette´ecriturequenousutiliseronsleplussouventparlasuite.Anoterquepourrassez petit, comme rδt 1 2 e= 1 +rδt+ (rδt) +. . .t´inl’,tˆeerρes´ffidueptedtnererδteste,lsuivrmesud´dnastpoepvelentme 2 ! limite´´etantparfoisne´glige´s. rδt Tout comme un Euro aujourd’hui vaudraeeussi’la`deioerepund’δt, la valeur actuelle d’un Euro −rδt−rδt d´elivr´eenδtvaut aujourd’huiee´qaautntine.Etlffee, qui est (un peu) plus petite que 1, vaudra −rδt rδt (e)enecamespdstuocruurauvaledelarendntlamucu=a1canupfitroL.’uqserp´deio`eprnesu desint´ereˆts,onparledecapitalisation’inverselapriseedfe.lAuaalontiund’tiacmocndetplsnave´’ ˜ sa valeur actuelle au lieu de sa valeur future s’appelle l’actualisation. On noteC t laalv´sila`eearueautc ˜ −rt l’instantte=0delauqnait´tC t eir-d`at-,’cseC t :=e C t . rt Anoterquelavaleuractualis´eedelasuitedesB t =te ,∈ {0, δt, . . . , nδt}est la suite constante.

2Microcr´edit Lemicrocr´editestunensembledecontratspermettantd’offrirdetr`espetitscr´edits`adesindividus tre`spauvrespourlesaider`ade´velopperdepetitesentreprisesoudesactivit´esge´ne´ratricesderevenus.

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L’ide´edebaseestpartiedelaconstatationqu’unegrandepartdel’humanit´en’apasacce`saucr´edit traditionnelcarlesbanquesexigentdeleursemprunteursqu’ilssatisfassenttouteunes´eriedecrit`eres, commelefaitdesavoirlireet´ecrire,deposse`derdesdocumentsd’identification,d’avoirdesgarantiesou deja`und´epotminimum. Lespremie`resexpe´rimentationsremontentauxann´ees70auBangladesh`al’initiativedeMuhammad Yunus,alorsprofesseurd’e´conomiea`l’universite´deChittagong.En1974,ilassista,impuissant,a`une terriblefaminedanslepetitvillagedeJohaprochedesonuniversit´e.Ilinterrogealorsavecses´etudiants les artisans et paysans du village pour tenter de comprendre leurs besoins et recence une demande de petitsprˆetschez42femmesa`quiilde´cidefinalementdepre`terlui-mˆemeunesommetotaled’environ27 Euros.Ilmetensuitepre`sde10ann´eesa`tenterdeconvaincrelesbanquesd’assumercespreˆtsavantde de´ciderfinalementdefondersaproprebanque,laGrameenBanque,en1983.Cettebanqueetlui-meˆme re¸curentleprixNobeldelaPaixen2006.Actuellementl’activite´demicrocre´dits’estr´epanduedans laplupartdespaysdumonde,elleestassure´eparpre`sde10000Instituts de Micro Finance(IMF) qui pre`tent50Milliardsd’Euros`apr`esde500Millionsdebe´ne´ficiaires. Lesprincipalescarate´ristiquesdumicrocr´editsont –Detre`spetitspreˆtsconsentissurdespe´riodescourtes(10Eurossuruneanne´e)avecdesrembourse- mentsfr´equents(chaquesemaine). –Abscencecomple`tedegarantieindividuelle – Souventil s’agit deetrˆps´euprosg`-tse’cocerid-arentt35e0)pmurdee’sre(tnuetis`nsenroupaung quirec¸oiventchacununprˆetsmaissontsolidairesencesensqu’ilsdoiventassumertoutoupartie delade´faillance(onditle“de´faut”)d’unmembredugroupe. –Lesb´en´eficiairessontleplussouventdesfemmes. –Lestauxd’int´erˆetpratiqu´essont´ele´v´es,del’ordrede20%,pouvantparfoisallerjusqu’a`30%. –Possibilite´d’unnouveaupreˆtautomatiquementaccorde´encasderemboursementseffectifsetdans lestemps(m´echanismed’incitation dynamique). – Tauxde remboursement proches de 100%. 1 Exemple :adYunusarMuhamm:emexesplL’nodtpe´naviusetn 2 Conside´ronsunpreˆtde1000BDT,d’unedure´ed’unanetsupposonsquelesremboursementsde- mande´ss’e´le`vent`a22BDTparsemaine.Sil’onnoters22BDTunlerptaqi´u,eelxcauetlannution −r rembours´esapre`sunesemaineontpourvaleurpr´esente22eet ceux que l’on rembourse la semaine 52 −2r r − suivante 22e....et ainsi de suite. On aura donc, en posantq=enaviopreutitauusno,leq’´q: 52 52 50 X 51 q−q k 1000 = 22q= 22. 1−q k=1 Lare´solutiondecettee´quationconduit`alasolutionq'0.atxu’dni´treeˆt9et96ncdoun`ar'19,74 presque´egal`a20%.

3 Obligationset taux actuariel Acote´desactionsetdeleursproduitsde´riv´es,ilexistesurlesmarch´es`aladispositiondesinvestisseurs uneautregrandefamilled’actifsfinanciersli´esauxtauxd’interˆetdontlesplussimplessontlesobligations. Lesobligationssontdescontratsquiassurent`aleurd´etenteura`lasignatureducontratunflux connuderevenus,compos´eduprincipaldnoisseceetmeeratucesund’´s`evrecouponssedaetadsrev`se´s interme´diaires.On´evaluefacilementleurprix`al’instantinitialteˆt´tre’dniatxu=leitnaonnc’oil0s (suppos´econstantpoursimplifier).Parexempleuneobligationd’´etatquirapporte1000Eurosdans5 anset3%(soit30Euros)tousles6moispourraits’e´valuer,siletauxd’inte´rˆetannuelρstantconetai´t surlape´riode,comme 30 30 3030 1000 + ++. . .+ + 1 39 5 (1 +ρ) (1+ρ) (1 +ρ+) (1ρ+) (1ρ) 2 22 ou, en utilisant le taux continur: 1 39 5 −r−r−r−r−r 2 22 2 30e+ 30e+ 30e+. . .+ 30e+ 1000e . 1 Le livre de Muhammad Yunusdnsenapsuarvtee´Versunmoelbinopsidtnese´en1(se)799tse,rpa`di,EontiCLsJt`at Livre de Poche. 2 100 Bangladesh Taka (BDT) vaut environs 1 Euros.

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