Analyse Numérique Corrigé du TD6

Sophia - Antipolis Licence

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Nice Sophia-Antipolis Licence L3 Mathematiques Annee 2008/2009 Analyse Numerique Corrige du TD 6 EXERCICE 1 Matrices diagonales, triangulaires 1.1 Matrices diagonales Soit D = (dii)i=1,...,n une matrice diagonale d'ordre n > 0. Donner une condition necessaire et suffisante pour que D soit inversible. On peut representer D sous forme du tableau suivant : ? ? ? ? ? ? ? ? d11 . . . 0 dii 0 . . . dnn ? ? ? ? ? ? ? ? . Comme det D = n ∏ i=1 dii, on a D inversible ?? det D 6= 0?? dii 6= 0 , ? i = 1, ..., n . 1.2 Matrices triangulaires inferieures Soit L = (lij)i, j=1,...,n une matrice triangulaire inferieure d'ordre n > 0. a. Sous quelle condition necessaire et suffisante L est-elle inversible ? La matrice L peut se mettre sous la forme suivant : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? l11 l21 l22 ... . . . l1i lij lii 0 .

• elimination de gauss


• ?2 ?2


• n?1 ∑


• systeme triangulaire


• l3 ?


• u2 n?1 u2


• ?? det

Sujets

• Carl Friedrich Gauss
• Licence

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Extrait

Universit´edeNiecoShpaiA-tnpilo Li is ncce3MeLh´attameeuqinnAs2ee´2009008/

EXERCICE 1 Matrices diagonales, triangulaires

1.1 Matrices diagonales SoitD= (d ii ) i=1n une matrice diagonale d’ordren >0. Donner une condition ne´cessaireetsuffisantepourqueDsoit inversible. Onpeutrepre´senterDsous forme du tableau suivant :

AnalyseNume´rique Corrige´duTD6

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 d 11  . . . 0 d ii    0 .   . . d nn

n Commedet D= Y d ii , on a i=1 Dinversible⇐⇒det D6= 0⇐⇒d ii 6= 0∀i= 1  n  1.2Matricestriangulairesinf´erieures SoitL= (l ij ) i j=1n maneud’orderuere´erieinfalrinaugteirrtcin >0. a.Sousquelleconditionn´ecessaireetsuffisanteLest-elle inversible ? La matriceLmettre sous la forme suivant :peut se  l l 1 1 2 1 l 22  . . . . l 1i l ij l ii 0  . . .   l n . 1 l nj    l n l n −1 n− n 1 −1 l nn   d’o`ulamatricetriangulaireinfe´rieureLtueprteˆiserep´earect´ac:ar

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Quelestlecoˆutdecetalgorithmeentermesd’op´erationse´le´mentaires(addi- tions, multiplications, divisions) ? Le calcul dey 1 demande 1 division (div) dans l’algorithme (1.2). Pouriadsnxfie´{1  n}, le calcul dey i par l’algorithme (1.2) requiert 1 division (div), i−1 additions (add) eti−1 multiplications (mult). AutotallecoˆutC L de l’algorithme (1.2) est C L = 1 div + i= n X 2  (i−1) add + (i−1) mult + 1 div  n n−1n−1 = 1 div + X 1 div + X kadd + X kmult i=2 k=1k=1 (n−1)n = 2 add +  (n− 2 1)n mult +ndiv Lenombred’op´erationse´l´ementairesC L est de l’ordre den 2 ,i.e.C L =O(n 2 ).

Commel ii 6= 0∀i= 1  nulose´ral,st`eme(1tiondusyirt1.s)´’ce b 1  y 1 = l 11 y i = l i 1 i  b i − i j − X 1 1= l ij y j  ∀i= 2  n  (1.2)

b.Onsupposequelamatricetriangulaireinf´erieureLest inversible. Soitb un vecteur colonne ayantncomposantes. Donnerunalgorithmequipermetder´esoudrel’´equationd’inconnuey: L y=b (1.1)

l ij = 0 sii < j∀i j= 1  n  n Puisquedet L= Y l ii , on a i=1 Linversible⇐⇒det L6= 0⇐⇒l ii 6= 0∀i= 1  n 

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