CONVERGENCE SIMPLE, UNIFORME, UNIFORME SUR TOUT COMPACT D'UNE SUITE D'APPLICATIONS
Contexte : SoitXune partie non vide d'unev. Soit (E, || . ||) un evn de dimension finie. Soit (n)n∈une suite d'applications deXdansE. Définitions : 1. On dit que la suite d'applications (n)n∈converge simplement surXvers une applicationsi :
3. On dit que la suite d'applications (n)n∈converge uniformément sur tout compact deXvers une application si : C U Pour tout compactCdeX,n→ surC. C C On note alors :n→ surX
Comparaison de ces différents modes de convergence : C U 1. Supposonsn→ surX. ∗ Soientx∈Xetε∈+. Par hypothèse, on a : ∃N(ε),∀n∈, (nN⇒ ||n(x)−(x)||ε) C S Ce qui prouve :n→ surX Donc :la convergence uniforme entraîne la convergence simple C U 2. Supposonsn→ surX. C U SoitCun compact deX. Alors :n→ surC. C C Ce qui prouve :n→ surX Donc :la convergence uniforme entraîne la convergence uniforme sur tout compact On verra plus loin des les réciproques de ces deux implications sont fausses. Auparavant, nous devons approfondir la notion de convergence uniforme.