Equations différentielles, géométrie complexe et similitude, géométrie 3D, étude de fonction et de suite Sujet du bac 2007, Terminale S, Amérique du Sud, seconde session
1.Dans cette question, on demande au candidat d’exposer des connaissances. On suppose connu le résultat suivant : x′ La fonctionx7→l’unique fonctione estϕdérivable surRtelle queϕ=ϕ, et ϕ(0)=1. Soitaun réel donné. ax a.Montrer que la fonctionfdéfinie surRparf(x)=e estsolution de ′ l’équationy=a y. ′ b.Soitgune solution de l’équationy=a y. Soithla fonction définie surR −ax parh(x)=g(xMontrer que)e .hest une fonction constante. ′ c.En déduire l’ensemble des solutions de l’équationy=a y. ′ 2.On considère l’équation différentielle (E) :y=2y+cosx. a.Déterminer deux nombres réelsaetbtels que la fonctionf0définie sur Rpar : f0(x)=acosx+bsinx soit une solutionf0de (E). ′ b.Résoudre l’équation différentielle (E0) :y=2y. c.Démontrer quefest solution de (E) si et seulement sif−f0est solution de (E0). d.En déduire les solutions de (E). ³ ´ π e.Déterminer la solutionkde (E) vérifiantk=0. 2
EX E R C IC Epoints2 5 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le planPest rapporté à un repère orthonormal directO,u,v. On fera une figure que l’on complétera avec les différents éléments intervenant dans l’exercice. 1.On considère les points A d’affixe 1 et B d’affixe i. On appelleSla réflexion (symétrie axiale) d’axe (AB). ′ Montrer que l’imageMparSd’un pointMd’affixeza pour affixe ′ z= −z+1+i. 2.On noteHl’homothétie de centre A et de rapport−2. Donner l’écriture com plexe deH. 3.On notefla composéeH◦S. a.Montrer quefest une similitude. b.Déterminer l’écriture complexe def. ′′ 4.On appelleMl’image d’un pointMparf. −−−→−−→ ′′ a.Démontrer que l’ensemble des pointsMdu plan tels que AM= −2AM est la droite (AB). −−−→−−→ ′′ b.Démontrer que l’ensemble des pointsMdu plan tels que AM=2AM est la perpendiculaire en A à la droite (AB).
Baccalauréat S
EX E R C IC Epoints2 5 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le planPest rapporté à un repère orthonormal directO,u,v. On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure. ′ Soitfl’application qui à tout pointMde P d’affixe non nullezassocie le pointM d’affixe : µ ¶ 1 1 ′ z=z+. 2z ′ 1.Soit E le point d’affixezE= −i. Déterminer l’affixe du point E , image de E par f ′ 2.Déterminer l’ensemble des pointsMtels queM=M. 3.On note A et B les points d’affixes respectives 1 et−1. SoitMun point distinct des points O, A et B. a.Montrer que, pour tout nombre complexezdifférent de 0, 1 et−1, on a : µ ¶ ′2 z+1z+1 =. ′ z−1z−1
′ MBMB b.En déduire une expression deen fonction depuis une expres ′ MAMA ³ ´³ ´ −−→−−→ −−→−−→ ′ ′ sion de l’angleMA ,MB enfonction de l’angleMA ,MB 4.SoitΔla médiatrice du segment [A, B]. Montrer que siMest un point deΔ ′ distinct du point O, alorsMest un point deΔ. 5.SoitΓle cercle de diamètre [A, B]. ′ a.Montrer que si le pointMappartient àΓalors le pointMappartient à la droite (AB). b.Tout point de la droite (AB) atil un antécédent parf?
EX E R C IC Epoints3 5 Commun à tous les candidats ³ ´ −→−→−→ L’espace est muni d’un repère orthonormalO,ı,,k. −→ 1.On considère le point A de coordonnées (−2 ; 8 ; 4) et le vecteurude coor données (1 ; 5 ;−1). Déterminer une représentation paramétrique de la droite (d) passant par A et −→ de vecteur directeuru. 2.On considère les plans (P) et (Q) d’équations cartésiennes respectives x−y−z=7 etx−2z=11. Démontrer que les plans (P) et (Q) sont sécants. On donnera une représenta ′ tion paramétrique de leur droite d’intersection, notée (d). Montrer que le vecteur de coordonnées (2 ; 1 ; 1) est un vecteurdirecteur de ′ (d). ′ 3.Démontrer que les droites (d) et (d) ne sont pas coplanaires. ′ 4.On considère le point H de coordonnées (−3 ; 3 ; 5) et le point Hde coordon nées (3 ; 0 ;−4). ′ ′ a.Vérifier que H appartient à (d) et que Happartient à (d). ′ ′ b.Démontrer que la droite (HH ) est perpendiculaire aux droites (d) et (d). ′ c.Calculer la distance entre les droites (d) et (d), c’estàdire la distance ′ HH . −−−→−−→ ′ ′ 5.Déterminer l’ensemble des pointsMde l’espace tels queMH∙HH=126.
Amérique du Sud
2
novembre 2006
Baccalauréat S
EX E R C IC E4 Commun à tous les candidats
1.On considère la fonctionf1définie sur [0 ;+∞[ par ¡ ¢ 2 f1(x)=2x−2+lnx+1 .
6 points
a.Déterminer la limite def1en+∞. b.Déterminer la dérivée def1. c.Dresser le tableau de variations def1. 2.Soitnun entier naturel non nul. On considère la fonctionfn, définie sur [0 ;+∞[ par ¡ ¢ 2 lnx+1 fn(x)=2x−2+. n a.Déterminer la limite defnen+∞. b.Démontrer que la fonctionfnest strictement croissante sur [0 ;+∞[. c.Démontrer que l’équationfn(x)=0 admet une unique solutionαnsur [0 ;+∞[ d.Justifier que, pour tout entier natureln, 0<αn<1. 3.Montrer que pour tout entier naturel non nuln,fn(αn+1)>0. 4.Étude de la suite (αn) a.Montrer que la suite (αn) est croissante. b.En déduire qu’elle est convergente. ¡ ¢ 2 lnα+1 n c.Utiliser l’expressionαn=1−pour déterminer la limite de 2n cette suite.