P n 2)Justifierlefaitqu’unese´rieentie`reanxde rayon de convergenceRest continue sur n≥0 ]−R, R[.
P n 3) Soitanxdere`etiecndyoranegrevnoecueneine´sreR∈Rd´efinit(nO.bn)n≥0par n≥0 P n ∀n∈N,b2n=anetb2n+1=Qu0.eselertlnoyaocedrevncnegtn`iireesae´deleerebnx. n≥0 Justifier.
2π Rappel :Soitf:R−→Rune fonction continue par morceaux,T(ep´eriodiquωOn= ) T d´efinitlescoefficients de Fourier complexesdefpourn∈Z: Z T 1 −inωt cn(f) =f(t)e dt. T 0
3)Versquellefonctionconvergelede´veloppementdeFourierdef? Cette convergence est-elle uniforme ?Pourquoi ? P P p +∞(−1) +∞1 4)Ende´duireet2. p=0 2p+1n=1n
De´veloppementsusuelsens´eriesentie`resautourde0. Pn x+∞x e= , n=0n! P2p +∞x cosh(x) =, p=0 (2p)! P2p+1 +∞x sinh(x,) = p=0 (2p+1)! P p2p +∞(−1)x cos(x,) = p=0 (2p)! P p2p+1 +∞(−1)x sin(x) =, n=0 (2p+1)! P +∞α(α−1)...(α−n+1) α n (1 +x) =1 +x, n=1n! P 1 +∞ n =x, 1−x n=0 P n+1n +∞(−1)x ln(1 +x,) = n=1n P2n+1 +∞1.3....(2n−1) n x arctan(x) =x+ (−1) . n=1 2.4...(2n) 2n+1