Mathématiques 2002 Classe Prepa HEC (ECT) Institut Supérieur de Gestion (ISG)

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Examen du Supérieur Institut Supérieur de Gestion (ISG). Sujet de Mathématiques 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2002 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2002

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 73
• Langue: Français

Extrait

ISG 2002 Option technologique

Exercice 1 1. Onconsidère les suites(u n ) n>1 et(v n ) n>1 dénies par : 1 11 1 u n + += 1 +  +lnn et v n =u n : 2 3n n n+1 R 1dt1 (a) Pourtout entier naturelnnon nul, montrer que :6 6. n+ 1t n n (b) Montrerque les suites(u n ) n>1 et(v n ) n>1 sont monotones. (c) Déterminerlim (u n v n ). n!+1 (d) Endéduire que les suites(u n ) n>1 et(v n ) n>1 sont convergentes et de même limite. n 1 11 P 1 2. Pourtout entier naturelnnon nul, on noteS n = + +  + =. n+ 1n2+ 2n n+k k=1 (a) Montrerqueuu=Sln 2. 2n nn (b) EndéduirelimS n . n!+1 3. Pourtout entier naturelnnon nul, on note :     ln 2ln 2ln 2 T n += exp+ exp  + expn; n+ 1n+ 22n 2 (a) Etablirque pour toutxde lintervalle]0; 1]:1 +x <exp(x)<1 +x+x. (b) Endéduire un encadrement deT n . 1 11 1 (c) Justierque :+ +  +<. 2 22 (n+ 1)(n+ 2)(2n)n (d) DéterminerlimT n . n!+1

Exercice 2 On donne un réelxet u entierntels que :0< x <1etn>2. On estime que dans une population f la proportion dindividus connaissant la signication du sigle M.B.A estx. On interrogenpersonnes de la population F et on demande à chacune dentre elle de choisir entre trois dénitions di¤érentesA 1 ,A 2 ,A 3 du sigle M.B.A. celle qui lui paraît la bonne. La dénitionA 1 étant la dénition exacte, on admet que les personnes connaissant la dénition du sigle M.B.A. choisissent nécessairementA 1 , les autres personnes (ignorantes) répondent au hasard. De pus, on suppose que les réponses fournies par les di¤érentes personnes sont indépendantes entre elles. On note : Clévénement "la personne choisie connait la signication du sigle M.B.A." D i lévénement "la personne choisie donne la réponseA i ",16i63

1. (a)Pour16i63, on notep i les probabilitésp i =p(D i ). 1 + 2x1x Montrer quep 1 = etp 2 =p 3 =. 3 3 (b) Calculerla probabilitéq(x)quune personne ayant choisie la réponseA 1 connaisse la signication du sigle M.B.A.

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2. Pouri= 1;2;3, on désigne parX i la variable aléatoire réelle prenant pour valeurs le nombre de réponse A i choisies par lesnpersonnes interrogées. (a) Donnerla loi de probabilité de chaque variable aléatoireX i . (b) Calculerlespérancem i et lécart-type i de chaque variable aléatoireX i . n (c) Montrerque, pouri= 2 et 3,m i m< < 1 . 3 n 2 (d) Montrerque pouri= 1;2;3,( i )6. 4 3. Onveut estimer la valeur dex, pour ce faire on constitue n échantillons de 30 personnes chacun. Les échantillons étant notése 1 ; e 1 e; : : : ; N . Pour16j6N, on noteY j le nombre de personnes de léchantillone j ayant choisi la réponseA 1 . Y 1 +Y 2 +  +Y N On poseZ N = N (a) Pourtoutj,16j6N, donner, en fonction dex, lespérance et la variance deY j . (b) Endéduire, en fonction dexet den, lespéranceE(Z N )et la varianceV(Z N )deZ N . (c) Enutilisant linégalité de Bienaymé-Tchébychev, montrer que, pour tout réeltstrictement positif, 30 06p(jZ N m 1 j>t)6: 2 4N t (d) Endéduire que :limp(jZ N m 1 j< t) = 1. N!+1 Ainsi,Zest une bonne approximation dem 1 . (e) Sur50 échantillons de 30 personnes, on a relevé une moyenneZ 50 = 12(de réponsesA 1 ). Donner, alors, une estimation dex.

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