1 Exercice1 Soitn∈Nnetsteecpselrpor’´edudetrliexi’emosei´et´esdespolynˆosopprseOn.Pn(X) tels que : 1 1 n ∀t∈C− {0}, Pnt+ =t1)+ (relation n t t 1. (a) Montrerque siPnexiste alorsPnest unique. 1 2 (b) JustifierqueP0(X) = 2, queP1(X) =Xloppant(,end´evetet, calculer+ )P2(Xtanifierv´) t la relation (relation 1). 2.Montrerparr´ecurrenceque:∀n∈N,Pnexiste et Pn+2(X) =X Pn+1(X)−Pn(X).(relation 2) 3.D´eterminerledegre´dePnepedshlutdaur´egsteerapae´ti.s,noetmr 4. 1 (a) Soitθ∈Rtere.´Dlunnoexenomplruncminet,t∈C− {0}, tel quet(2 cos+ =θ) puis t calculerPn(2 cos(θ)) en fonction denetθ. (b)End´eduirelesracinesdePnen fonction denet une factorisation dePndansR[X]. 1 n (c)Re´soudredansC’´luaeqontit´rcee´edtn.insiler´esultatp0=erteuortarev+ n t 5. (a) CalculerP5(X). (b)End´eduireunefactorisationdeP5(X) dansR[X]. π (c) Encomparant cette factorisation et celle obtenue en 4.b) donner les valeurs exactes de cos 10 3π et cos. 10 2 Exercice2 0−2 1 Soit la matriceM=−2 3−2 . 1−2 0 3 Leproduitscalaireutilise´danscetexerciceestleproduitscalairecanoniquesurR. 1. JustifierqueMest diagonalisable. 1