CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION SCIENTIFQUE MATHEMATIQUESII Année 2006
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Le problème a pour objet létude de quelques propriétés concernant le nombre de racines réelles dun polynôme de degrén, (n>1Dans les parties II et III, les polynômes considérés), à coe¢ cients réels xés ou aléatoires. sont à coe¢ cients réels et on pourra confondre polynôme et fonction polynomiale associée.Pour toute fonction 0 dérivable sur son domaine de dénition, la dérivée deest notéequatre parties du problème sont, dans. Les une large mesure, indépendantes.
Partie I : Nombre de racines réelles dun polynôme du second degré à coe¢-cients aléatoires
On considère dans cette partie, deux variables aléatoires réellesX0etX1dénies sur le même espace probabilisé (;A; P), indépendantes et de même loi.Pour tout!de, on considère le polynômeQ!dindéterminéey, déni par : 2 Q!(y) =y+X1(!)y+X0(!) On désigne parM(w)le nombre de racines réelles deQ!.
1. Montrerque lapplicationMqui, à tout!deassocieM(!), est une variable aléatoire dénie sur(;A; P).
2. SoitZune variable aléatoire dénie sur(;A; P), qui suit une loi de Bernoulli de paramètrep(p2]0;1[). On suppose dans cette question queX0etX1suivent la même loi que2Z1.