CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION Lettre et Sciences Sociales (BL) MATHEMATIQUES II Année 2000
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Ce problème étudie deux suites de variables aléatoires discrètes.Il se compose de quatre parties. Si le candidat ne parvient pas à établir un résultat demandé, il lindiquera clairement, et il pourra pour la suite admettre ce résultat.
Dans tout le problème,ndésigne un entier naturel non nul.
On considère une urneUncontenantnboules numérotées de 1 àn: On tire une boule au hasard dansUn. Onnotekle numéro de cette boule. Sikest égal à 1, on arrête les tirages. Sikest supérieur ou égal à 2, on enlève de lurneUn, les boules numérotées dekàn(il reste donc les boules numérotées de 1 àk1), et on e¤ectue à nouveau un tirage dans lurne. On répète ces tirages jusquà lobtention de la boule numéro 1. On noteXnla variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour lobtention de la boule numéro 1. On noteYnla variable aléatoire égale à la somme des numéros des boules tirées. On noteE(Xn)etV(Xn)(respectivementE(Yn)etV(Yn)lespérance et la variance deXn(respectivementYn)
Partie 1. n P11 1 1. Onpose :hn1 ++= = +. k2n k=1