Programme ESC d’E.M.LYONCONCOURS D’ENTREE 1999MATHEMATIQUES1`ere ´epreuve (option scientifique)Les candidats ne doivent pas faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Probl`eme 1Notations:• n d´esigne un entier sup´erieur ou ´egal a` 3•M (R) est l’ensemble des matrices carr´ees d’ordre n a` coefficients r´eels.n x1 . n.• On identifie les matrices unicolonnes X = d’ordre n avec les vecteurs deR . .xnn•R est muni du produit scalaire canonique not´e <.,.>.. d´efini par: x y1 1nP . .. .si X = et Y = , alors = x y . k k. .k=1x yn ntEn identifiant les matrices deM (R) avec les r´eels, on a: = XY.1• I d´esigne la matrice identit´e deM (R).n n• A est la matrice deM (R) dont le terme g´en´eral a est ´egal `a 1 si|i−j| = 1 et ´egal `a 0 sinon.n n i,j 0 1 0 00 1 0 1 0 1 0 Ainsi, par exemple, A = 1 0 1 et A = .3 4 0 1 0 10 1 00 0 1 01. Montrer que A est diagonalisable.3D´eterminer une matrice inversible P de M (R) et une matrice diagonale D de M (R) telles que3 3−1A =PDP .32. Soit θ ∈]0;π[. On d´esigne par S l’ensemble des suites r´eelles (s ) telles que s = 0 et pour toutθ k k∈N 0entier naturel k, s −2cosθ s +s = 0.k+2 k+l ksinkθMontrer que, si la suite (s ) appartient `a S , alors pour tout entier naturel k: s =s .k k∈N θ k 1sinθEn d´eduire que S est un espace vectoriel ...