Lepr´etextedecetexerciceestl’´etuded’unedes poutresprincipalesducentredenum´erisationen cours de construction au centre de recherche. Une photodelapoutree´tudie´e(entour´eesurlaphoto) estdonn´eeci-contre.Lapoutreestsupporte´epar deuxpoteauxenb´eton.Elleestsoumise`alacharge deladallesupe´rieureparl’interm´ediairedepou-trellesIPNr´epartiesr´eguli`erementsurtoutesalon-gueur. On constate, par ailleurs, sur la photo que la section de la poutre est variable sur les parties extrˆemesdecelle-cietconstanteenpartiecentrale. Nousallonsdansunpremiertempsadopterlamode´lisationdonne´e`alafigureci-dessous:
q~
A B 1500 5000 Fig.1.´eepourlapoutrele´dtasianoitpodMo
C D 1500
Nous allons donc supposer que la ligne moyenne de la poutre est droite et que la poutre est soumisea`unechargere´partie~qalt’iaornrˆetnetnstBreatnsCl,eeuapxiotspaup´youapeetr.L se faisant en C. Donne´es 4 – lacharge~qe´tipoanirusnet6.10N/m ; –lepoidspropredelapoutreestsuppos´ene´gligeableparrapporta`lachargeq~; –lesdimensionssontdonne´es(enmm)surlafigure1; –lemate´riauutilis´eestunacierdecaract´eristiques:E000= 210MPa,ν= 0,3et σe= 250MPa ; –onadopterauncoefficientdes´ecurit´ede2,5.
MQ01
Printemps 2008
1 .tneme´flssihctnaseffs,tsorantranchqeauitnoesttarecrlesgraphesdesmormte´eDs´leerints eteffortsnormauxlelongdelapoutreABCD.Vouspr´eciserezquellessontlespositions dessectionsou`lemomentfl´echissantestnul. 2 .estcoidnaLrueurhhautaute.Lahalgreredteeduebrecer´eosaiulngtartuopaleppustsee h est variable le long de la poutre avec la variation suivante : h(x)
b
x A BE FC D 2000 mm4000 mm2000 mm La hauteurhediae´emernetnlertpolareutrivainelnotssectnaetintsespopuisAetE entreEetFetenfinvarieline´airemententrelespointsFetD. hf On suppose que la largeur b est constante le long de la poutre et vaut. 2 –De´terminerlahauteurhfs’ursuasrqreceueettporeutpola`aernnodtiodno’leuq dernie`rere´sisteauxactionsquiluisontimpos´eesdanssapartiecentraleEF. hf – Onah0uliunosiitcaqsno?esmpti´eos=apou,leut-trep´rseleelarxusiet 2 –Dessinerlare´partitiondescontraintesnormalesettangentiellesdanslasectionsesituant au milieu de AD. 3 .On donnehf= 250 mm;b= 125 mm eth0alpe´dudtnemecexl’ernnonsiespr=.moD21m5 dupointMmilieudeAD(vousnechercherezpas`acalculertouteslesinte´gralesou primitivesmaisvousvousattachereza`de´crirepr´ecise´mentlam´ethodeutilis´ee).
Comme le montre la photo du chantier, la ligne moyenne de la poutre n’est pas droite sur toute la longueur de la poutre. On a, en fait, la configuration suivante (seule la ligne moyenne estrepr´esente´e):
~q
ϕ B F C A ED 1500 5004000 5001500 Fig.2.e´peodtpoiansitatreapouourleld´Mo
o 4 .Sachant queϕcareelgsoisntertsmomentsflr´aepchheissd-e,4=te´d´eesatqumierrlne sants, efforts tranchants et efforts normaux le long de la poutre. ` 5 .osmuentstaoicitisollpedeeltyAqu¸nortstnere´ffidsleurestrouapelisocsnBAB,eEt EF ?
Lapartiedel’arbre´etudi´eeestconstitue´ed’uncylindrepleindesectioncirculaireBCD assemble´a`untubecreuxcirculaireABC.L’assemblagesefaitparl’interm´ediairedecannelures. Noussupposerons,pourlasuite,quelesdeuxarbressontencastre´slelongdelapartieBC.Le moteur se trouve au niveau du point D, la chaˆıne de transmission se poursuit au point A (voir figure 3). Hypoth`esesetdonn´ees – Lemoteur transmet une puissance de3750itnoedesedoratuneviteskW`a1600 tours/minute ; –lesdimensionsdelapie`cee´tudi´eesontdonne´esenmmsurlafigure4.