les
Le
v
2005
V
1.
endredi
supp
25
déni
no
v
.
em
supp
bre
La
2005
matrice
Médian
solution
de
réel
l'UV
ts,
MT31
et
Dur
herc
é
a
e
supp
:
matrice
2
Le
heures
solution
.
a
Une
v
feuille
A4
et
les
seul
3
de
.
notes
de
autorisée.
soit
p
autorisée.
à
On
1
rotationnel
1.
ec
Calculer
1.
la
régulière
dériv
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est-elle
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?
la
ème
fonction
admet-il
Automne
2.
Chamoret
ec
Dominique
(a)
.
est-elle
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?
ème
admet-il
dans
3.
que
érier
an
v
aleurs
et
.
de
v
l'expression
de
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i.e.
2.
gradien
Calculer
hamp
la
un
dériv
que
ée
our
d'ordre
applications
précéden
déterminer
de
he
la
fonction
2.
questions
de
des
le
Déduire
v
(d)
Calculer
(3)
.
que
On
telle
ose
te
osée
.
une
La
est
2
in
On
ersible
(b)
le
sysy
système
fonction
linéaire
(1)
existe
une
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?
trer
On
et
ose
la
v
matrice
.
Mon
La
dénis
:
par
in
:
ersible
(c)
(b)
(2)
sysy
que
par
telle
ordonnées
existe
une
qu'il
?
trer
Discuter
Mon
résoudre
(b)
en
?
suiv
et
t
érier
v
v
du
alors
ecteurs
t
en
Soit
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le
hamp
Quelles
1
(a)
1
xe +1
f(x) =
1
xe −1
n
g(x) = x cosx
(S) A
ax+y +z = 1 a 1 1 (S) x+ay +z = 1 A = 1 a 1 a∈R
x+y +az = 1 1 1 a
a = 1
A
(S)
a = 0
A
(S)
(S) a
V
3 xz e −z y sinx
2f :R → R
V(x, y, z) = f(x,z)
(x,z) → f(x,z)
y2 x3z e +ycosx+ +2z y
z
f
V
f V ∇∧V = 0
∂f ∂f
(x,z) (x,z)
∂x ∂z
f (z)1
f(x,z) = zcosx+f (z)1
c1
2f (z) = lnz +z +c1 1
f ∇∧V = 0si
un
que,
Nous
que
existe
main
que
tenan
v
t
une
la
(d)
fonction
si
Chamoret
(4)
obten
(e)
ue
hamp
à
t
la
te
question
il
précéden
trer
te
que
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alors,
v
il
ec
Mon
Dominique
tel
.
si
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est
l'expression
),
scalaire
i.e.
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telle
(6)
que
telle
tes
précéden
existe
questions
alors,
des
que,
Déduire
Mon
.
(5)
(a)
tel
Que
il
p
3.
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alors,
en
existe
déduire
trer
?
(c)
(b)
que
Mon
2
trer
f c = 01
∇∧V = 0
φ
∂φ
(x,y,z) = V (x,y,z),1
∂x
φ (y,z)1
3 xφ(x,y,z) = z e +z y cosx+φ (y,z)1
∂φ
(x,y,z) = V (x,y,z),2
∂y
φ (z)2
2φ (y,z) = y lnz +z y +φ (z).1 2
∂φ
(x,y,z) = V (x,y,z),3
∂z
c2
φ (z) = c .2 2
φ(x,y,z)solutions,
1
de
2005
n'a
V
matrice
endredi
en
25
.
no
t
v
supp
em
le
bre
est
2005
Le
Co
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du
unique.
médian
de
de
l'UV
innité
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par
Dur
,
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de
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:
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2
unique.
heures
.
v
Une
Le
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A4
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seul
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de
as
notes
Une
autorisée.
2.
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autorisée.
(a)
Corr
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e
a
1
Automne
1.
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Chamoret
matrice
Dominique
v
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t
de
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.
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ème
système
admet
le
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,
On
ons
:
a
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deux
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nous
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En
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pas
e
solution
Deux
2
son
1.
en
On
:
supp
P
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de
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est
innité
On
solution.
.
On
(a)
ose
La
de
matrice
.
:
La
est
une
donnée
donnée
par
:
:
système
simplication
que
après
on
s'écrire
Si
alors
Gauss.
eut
ot
p
du
système
La
Le
métho
.
in
6
ersible
que
la
t
utilisan
tenan
système
main
6
ose
On
La
(b)
matrice
sysy
supp
3.
n'est
solution
pas
une
in
v
1
xe +1f(x) = 1
ex−1
a = 1
A
1 1 1 A = 1 1 1
1 1 1
A L = L1 2
(S)
a = 0
A
0 1 1 1 0 1A =
1 1 0
A detA = 2 = 0
(S)
ax+y +z = 1 ax+y +z = 1
2(S) x+ay +z = 1 ⇔ (a −1)y +(a−1)z = a−1
x+y +az = 1 (1−a)y +(a−1)z = 0
ax+y +z = 1
⇔ (a−1)(a+1)y +(a−1)z = a−1
(1−a)(y−z) = 0
a = 1
x+y +z = 1
(S) 0 = 0
0 = 0
a = 1
ax+y +z = 1 ax+y +z = 1
(S) (a+1)y +z = 1 ⇔ (a+1)y +z = 1
y−z = 0 (a+2)y = 1
a =−2de
Corr
Chamoret
On
6
Sinon,
Dominique
hamp
:
he
donc
v
,
pas
le
a
système
Soit
a
déni
une
applications
solution
2.
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donnée
gradien
par
:
solution.
a
soit
On
solution
:
déduit
le
en
v
On
que
:
et
déterminer
:
que
donc
sait
.
On
(1)
(c)
2
:
,
a
hamp
On
n'a
(b)
de
:
t
un
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que
ons
une
En
unique.
résumé,
e
nous
3
a
our
v
ons
de
:
ecteurs
en
v
ordonnées
a
par
nous
p
,
les
,
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Si
herc
(a)
On
a
:
une
a
innité
de
de
solution.
1.
ec
.
a
i.e.
ts,
a =−2
1x = a+2
1y =
a+2 1z =
a+2
a = 1 (S)
a =−2 (S)
(S)
V
3 xz e −z y sinx
2f :R → R
V(x, y, z) = f(x,z)
(x,z) → f(x,z)
2 x y3z e +ycosx+ +2zy
z
∇∧V
∂V ∂V3 2
(x,y,z)− (x,y,z)) ∂y ∂z ∂f
1 cosx+ +2z− (x,z)
z ∂z ∂V ∂V 2 x 2 x1 3 ∇∧V (x,y,z) = = 3z e −y sinx−(3z e −ysinx)(x,y,z)− (x,y,z) ∂z ∂x ∂f (x,z)+z sinx ∂V ∂V ∂x2 1
(x,y,z)− (x,y,z)
∂x ∂y
∂f
1cosx+ +2z− (x,z) z ∂z ∇∧V (x,y,z) = 0 ∂f
(x,z)+z sinx
∂x
f V ∇∧V = 0
∇∧V = 0
∂f
1(x,z) = cosx+ +2z
z∂z
∂f
(x,z) = −zsinx
∂x
∂f
(x,z) =−zsinx⇒ f(x,z) = zcosx+f (z)1
∂x
∂f 1
(x,z) = cosx+ +2z
∂z z
f(x,z) = zcosx+f (z)1
1
′cosx+ +2z = cosx+f (z)1
z
1
′f (z) = +2z1
z
2f (z) = lnz +z +c1 1Il
a
Finalemen
,
t,
que
Chamoret
:
est
:
donnée
En
par
:
par
Dominique
:
:
:
tiel
question
oten
:
p
par
du
à
l'expression
donc
t
scalaire
nalemen
ort
a
(b)
On
tégran
(e)
Soit
:
en
y
ons
à
te,
ort
d'après
rapp
On
par
obtien
t
ort
tégran
tégran
in
y
en
.
3.
existe
On
un
supp
hamp
ose
tel
Soit
:
:
rapp
déduit
t
en
On
On
par
:
in
aussi
en
ons
(d)
v
déduit
a
On
nous
aussi
te,
v
préceden
nous
question
préceden
la
la
d'après
Mais
Mais
a
:
(c)
a
t
.
on
(a)
à
On
rapp
a
t
On
in
(d)
3
:
f
2f(x,z) = zcosx+lnz +z +c1
2f(x,z) = zcosx+lnz +z
∇∧V = 0
∇φ =V
V1
∂φ
V (x,y,z) = (x,y,z)1
∂x
∂φ
3 x(x,y,z) = z e −z y sinx
∂x
x
3 x
φ(x,y,z) = z e +z y cosx+φ (y,z)1
∂φ 2(x,y,z) = V (x,y,z) = zcosx+lnz +z2
∂y
∂φ ∂φ1
(x,y,z) = zcosx+ (y,z)
∂y ∂y
∂φ ∂φ1 12 2zcosx+ (y,z) = zcosx+lnz +z ⇒ (y,z) = lnz +z
∂y ∂y
2φ (y,z) = ylnz +yz +φ (z)1 2
∂φ y
2 x(x,y,z) = V (x,y,z) = 3z e +ycosx+ +2z y3
∂z z
∂φ y y
2 ′ 2 x(x,y,z) = 3z +ycosx+ +2zy +φ (z) = 3z e +ycosx+ +2z y
2∂z z z
′φ (z) = 02
φ (z) = c2 2
φ
3 x 2φ(x,y,z) = z e +z y cosx+ylnz +yz +c2