Espaces de modules de connexions sur P1 et l'algorithme de Katz Seminaire de Geometrie Algebrique de Paris VI VII et Nantes

Carlos Simpson

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Espaces de modules de connexions sur P1 et l'algorithme de Katz Seminaire de Geometrie Algebrique de Paris VI-VII et Nantes Carlos Simpson, Chevaleret, le 1er fevrier 2007 Soit X une courbe projective, par exemple X = P1, et D ? X un diviseur reduit, donc D = p1 + . . .+ pn avec les pi distincts. Soit U := X ?D. On choisit un point de base u ? U . Pour X = P1 le groupe fondamental pi1(U, u) est engendre par des lacets ?1, . . . , ?n partant de u et tournant autour des pi respectivement. Il y a une relation ?1 · · · ?n = 1. On peut definir l'espace de modules des representations MB(U) a valeurs dans un groupe, disons GL(r,C). Dans le cadre des representations sur les varietes quasiprojectives, il convient de fixer les classes de conjugaison C1, . . . , Cn des images des ?i. Pour simplifier les choses au maximum, nous allons supposer que les Ci sont des classes de conjugaison des matrices d'ordre fini. En particulier les Ci ? GL(r,C) sont des fermes de Zariski, d'ou affines. L'espace de modules des representations avec classes de conjugaison donnes peut donc etre ecrit comme MB(U ;C1, .

• espace de modules des representations avec classes de conjugaison


• algorithme de katz


• espaces de modules mb


• katz sur les monodromies locales


• cadre des representations sur les varietes quasiprojectives


• image directe sur z


• champ de higgs


• ordre fini

Sujets

• Première
• Mathématiques
• Évariste Galois
• Simpson
• Champ de Higgs électrofaible

Informations

• Publié par: davaj
• Date de parution: 01 février 2007
• Nombre de lectures: 36
• Langue: Français

Extrait

1 Espaces de modules de connexions surPet l’algorithme de Katz S ´ eminairedeGe ´ om ´ etrieAlge ´ briquedeParisVI-VIIetNantes CarlosSimpson,Chevaleret,le1erfe´vrier2007

1 SoitXune courbe projective, par exempleX=P, etD⊂Xru´rivesnuidnct,doedui D=p 1 +. . .+p n avec lesp i distincts. SoitU:=X−D. Onchoisit un point de baseu∈U. 1 PourX=Ple groupe fondamentalπ 1 (U, ustecalse)ndgeenstdearepr´γ 1 , . . . , γ n partant de uet tournant autour desp i respectivement. Ily a une relationγ 1 ∙ ∙ ∙γ n pnuedte´finir1=O. l’espacedemodulesdesrepre´sentationsM B (Uav)`sisonpe,drguosnnusradlaueGL(r,C). Danslecadredesrepre´sentationssurlesvarie´t´esquasiprojectives,ilconvientdefixerles classes de conjugaisonC 1 , . . . , C n des images desγ i . Poursimplifier les choses au maximum, nous allons supposer que lesC i sont des classes de conjugaison des matrices d’ordre fini.En particulier lesC i ⊂GL(r,Clusemedoes.Luaffinaced’espiraZedse`o’d,iksntso)m´ersfde desrepr´esentationsavecclassesdeconjugaisondonn´espeutdonceˆtre´ecritcomme

ker (C 1 × ∙ ∙ ∙ ×C n →SL(r)) M B (U;C 1 , . . . , C n ) :=, P SL(r)

ou`l’applicationestleproduitetlequotientestparl’actiondeconjugaison.Lesmatrices d’ordrefiniontd´eterminant1etl’actiondeconjugaisonsefactorisea`traversP SL(r). Icise pre´sententevidemmentdeuxchoix,soitonprendslequotientcate´goriquedesch´emasaffines, soitonprendslequotientdeschamps.Onpeutconside´rerl’unoul’autre. Cesespacesdemodulesfontapparitionmˆemedanslecadredesvarie´te´sprojectives.En orb effet, soientn i les ordres des matrices deC i et soitXl’orbifold obtenu en mettant des orb groupes d’ordren i aux pointsp i . Dansce cas,M B (Xsnoitateslesrepr´esentc)noistsdeteuo deπ 1 (U, u) dont les monodromies autour desγ i sont d’ordren i respectivement, et cet es- pace se divise en composantes connexes qui sont lesM B (U;C 1 , . . . , C n ) pour tous choix des C 1 , . . . , C n avecC i d’ordren i . D’autrepart, sauf pour un petit nombre des cas l’orbifold orb orb Xadmet un revetement galoisienZavec groupeH, doncX= [Z/H] est le champ quotient. Legroupe finiHennxentcolemesimpeutt´pee´iravenurustnemebrliiragrsouujto Vmelpraxep(epmocte`lecrsontineeuteinH-invariant dans un espace projectif avec action deH) etZ×V /Hest un bon quotient, projective, avec

∼ orb π 1 (Z×V /H) =π 1 (X).

∼ orb D’ou`M B (X) =M B (Z×V /H), etM B (U;C 1 , . . . , C n ) est reunion de composantes con- nexesdansl’espacedemodulesderepr´esentationssurunevarie´t´eprojective(Daskalopolous- Wentworth). Enrevanche, si les classes de conjugaisonC i ne sont pas d’ordre fini, cette construction ne s’applique pas et les espaces de modulesM B (U;C 1 , . . . , C n erteˆtnevuep) diffe´rents. Les espaces de modulesM B (U;C 1 , . . . , C n ) fournissent des exemples de toutes les struc- ∗ turesdelath´eoriedeHodgenonab´elienne:versionsDolbeaultetdeRham,actiondeC, filtration de Hodge, connexion de Gauss-Manin (quandn≥4; ce sont les equations de de´formationisomonodromiques,e.g.Painlev´eVI),structurehyperk¨ahlerienne. 1