x∈I On admet l'existence d'une fonction ƒ, définie sur I = ] -1 ; 1 [, telle que, pour tout: 1 f 'x=f²x1f0=0 et . 2 jO ; i ; On note C sa courbe représentative dans un repèredu plan.
1. Donnerles variations de ƒ sur I: Pour trouver les variations de la fonction ƒ, on étudie le signe de sa dérivée ƒ'. Or ƒ' = 0,5 ƒ² + 1. 1 [fx]²0f²x0 et s'annule en 0 (car f(0) = 0) donc 2 1 f²x10 En ajoutant 1,. 2 ∀x∈I , f 'x0 Il vient donc que. Ainsi, la fonction ƒ est strictement croissante sur ] - 1 ; 1 [. x -1 01 Signe de f'(x) + Variations de ƒ 0
Mathématiques
x y=xla tangente à C en0=0 2. Démontrerque la droite T d'équationest : y=f '0x−0f0 L'équation de la tangente à C en 0 s'écrit:avec f(0) = 0. 2 f '0=0,5[f0] 1f '0=1 donc . y=1x−00⇔y=x Ainsi, CQFD gx=fx−x 3. Ondéfinit sur I la fonction g par:. 1 g 'x=f²x a) Justifier la dérivabilité de g sur I puis prouver que. 2 La fonction g est définie comme différence de deux fonctions, ƒ qui est définie et dérivable sur I et la fonction −∞;∞ −∞;∞ identité, définie et dérivable sur] [donc à fortiori sur ]-1;1[ (inclus dans ][ ) Donc la fonction g est définie et dérivable comme différence de deux fonctions dérivables sur I. 1 1 g 'x=f 'x−1g 'x=f²x1−1⇔g 'x=f²x D'où: <=>. CQFD 2 2 b) Donner les variations de g sur I. Étudions le signe de g'(x). 1 g 'x=0⇔f²x=0 , c'est-à-dire pour x = 0. (et c'est la seule valeur en laquelle ƒ s'annule car ƒ est 2 strictement monotone sur I, coupant l'axe des abscisses une fois et une seule en 0). 1 g 'x0⇔f²x0f²x0 soit quand, ce qui est impossible car un carré est toujours positif ou nul. 2 ∀x∈I ,g 'x0 Donc ,s'annulant juste en 0. g(0) = f(0) – 0 donc g(0) = 0 x -1 01 Signe de g'(x) + 0+ Variations de g + 0 -
c) Endéduire le signe de g(x) sur I puis les positions relatives de C et T. gx0−1x0gx00x1 Il vient d'après le tableau de variations de g quepour ,et pour. Position relative de C et T: Pour connaître la position relative de la tangente T par rapport à la courbe C de ƒ, on étudie le signe de la fx−x différence gx=fx−x Or eton connaît le signe de g sur I. fx−x0−1x0 Il vient donc par suite quepour doncC est en-dessous de T pour x compris entre -1 et fx−x00x1 0; pourdonc C est au-dessus de T pour x compris entre 0 et 1. C et T se touchent en 0. f ''x'f 'x'f '0 4. Justifierl'existence de. Calculer, puis. 1 f 'x=f²x1x0,5[fx]²1 La fonction ƒ est définie et dérivable sur I, avec. La fonctionest 2 définie et dérivable comme somme de fonctions dérivables sur I (car 0,5 ƒ² est dérivable comme composée de deux fonctions dérivables; la fonction carrée et ƒ; sur I). D'où: ƒ' est dérivable sur I comme somme de deux fonctions dérivables sur I (dont l'une est d'ailleurs constante). 1 f ''x= ×2×fx×f 'x [ux]²'=2uxu 'x Ainsi card'après la dérivée des fonctions composées. 2 13 f ''x=fxf 'xf ''x=fxfx Il vient quesoit . 2 13 f ''0= ×[f0] f0'f '0=0 <=> . 2