Ch...: Limites de fonctions et comportement asymptotique.
1ère S
I) Notion de limites infinies en∞et en−∞. Exemple: Soit la fonction carrée définie sur IR parfx=x². 96 f1000=...f10=...f−10=... Lorsqu'on calcule les images dexpour de grandes valeurs, on s'aperçoit que les valeurs defxtendent vers des valeurs infiniment grandes. Les valeurs defxvoulu. Il suffit pour celaaussi randes ue sont de plus en plus grandes y de prendrex« suffisamment grand ». Définitions: Soit un fonction définie au moins sur un intervalle ]f(x) a ;∞[.
➢Si, pourxsuffisamment grand, les imagesfx grandes que l'on veut, on dit quefxtend vers xtend vers∞. Autrement dit, pour tout réel m, il existe un réel A appartenant à l'intervalle ]a ;∞[ tel quexAet Notation: limfx=∞ . x∞
sont aussi ∞quand
fxm
.
➢Si, pourxsuffisamment grand, les imagesfxsontnégatives et de valeurs absolues aussigrandesque l'on veut, on dit quefx tend vers−∞quandxtend vers∞. Autrement dit, pour tout réel m, il existe un réel A appartenant à l'intervalle a ;∞[ tel quexAetfxm.
Notation: limfx=−∞ x∞
➢
.
Si pour tout réel m, on peut trouver une valeur de A appartenant à l'intervalle ]−∞; b[telle quexA fxm, alorsfxtend vers∞.
Notation: limfx=∞ x−∞
et que
➢Si pour tout réel m, on peu trouver une valeur de A appartenant à l'intervalle ]−∞; b[telle quexAet quefxm, alors fxtend vers−∞. Notation: limfx=−∞ x−∞
Remarque: limx²=∞limx²=∞ et tandis que x ∞x−∞ Généralisons: n limx=∞ ➢Sinest pair, x −∞ n limx=−∞ ➢Sinest impair, x−∞
3 limx=∞ x ∞
et
3 limx=−∞ x−∞
m
y
.
m
f(x)
y
A
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A
x
x
x
x
x
A
x
A
y
f(x)
m
y
m
x
x
l - a
l - a
x
s'approche de la valeur 2 (mais par valeurs supérieures car
Ici on remarque que pour la fonction inverse, quandxest suffisamment grand en valeurs absolue, autrement dit quand il tend vers−∞, les valeurs defxsont proches de 0. 1 lim=0 x Ainsi par valeurs inférieures. x −∞
y Exemple: 1 Soit la fonctionfdéfinie surℝ* parfx= 2. xx ●Sixtend vers∞, alorsfxs'approche de la valeur 2 (mais par valeurs supérieures car
1 22 x
1 22 x
fx
∞
tend vers
−∞
, alors
−∞
).
).
x
y
[ ou ]−∞; b [ Si, pourxsuffisamment petit (et grand en valeur absolue), les imagesfxsont aussi proches d'un réellque l'on veut, on dit quefxtend verslquand tend vers −∞. Soit pour tout a > 0, il existe un réelx]de l'intervalle 0 −∞quexxetfxappartient ; b[ tel0à l'intervalle ]l – a ; l + a[. y
n limx=∞ Cependant, dans tous les cas, quen.soit pair ou non, x∞ II) Notion de limite finie en l'infini: Exemple: 1 Soit la fonction inverse définie sur IR * parfx=. x f10=...f100=...f1000=.... Les valeurs defxsont de plus en plus proches de 0 quandxaugmente. Définitions: ➢On dit qu'une fonction f admet pour limite le réel➢On dit que f admet pour limite le réelllorsquex llorsquextend vers∞si les valeurs de tend vers−∞si les valeurs defxpeuvent fxpeuvent être rendues aussi proches delêtre rendues aussi proches delque voulu pourx que voulu pourxsuffisamment grand.suffisamment grand.
quand
quand
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Ici la fonction inverse est représentée. On a remarqué que fx0,1pourx10,fx0,001si x1000
Généralisons maintenant à toutes fonctions: Soit un fonction définie au moins sur un intervalle ]a ;∞ Si, pourxsuffisamment grand, les imagesfxsont aussi proches d'un réellque l'on veut, on dit quefx tend verslquand tend vers∞.
x
tend vers
l
l + a l
Si
●
Ainsi
x
x
tend vers
x
Soit pour tout α > 0, il existe un réelxde l'intervalle ] 0 a ;∞[ tel quexx0etfxappartient à l'intervallel + al – a . y l + a
1 lim=0 x x ∞
par valeurs supérieures.
y
Lecture graphique: limfx=llimfx=l Si ou , alors les ordonnées des points de la courbe (les nombre f(x) ) finissent par rester x −∞x∞ dan l'intervalle]l – a ; l + a[ même pour a petit.
Remarque: Les fonctions sinus et cosinus n'ont pas de limite qu'elle soit finie ou infinie en
III)Limite infinie en un réel a:
−∞
et en
∞
.
1 Exemple:Soit la fonctionfdéfinie sur IR parfx=pourx≠0. x f0,1=...f0,001=...f0,0000000001=... On montre ainsi quefxdevient aussi grand que l'on veut dès lors que l'on prendxassez proche de 0 par valeurs supérieures et quefxdevient aussi « petit » que l'on veut pour des valeurs dexproche de 0 par valeurs inférieures (soit -0,01; -0,0001 ...)
Définition: Si f est définie sur ] a –α;a[ ou sur ] a ;a+α[ (α> 0) ou sur leur réunion, on dit quefxtend vers∞quandxtend vers a sifxpeut être rendu aussi grand que l'on veut à condition de prendrexsuffisamment proche de a.
Icifxmdès que a− xa avec
x≠a
y
m
Si f est définie sur ] a –α;a[ ou sur ] a ;a+α[ (α> 0) ou sur leur réunion, on dit quefxtend vers−∞quandxtend vers a sifxpeut être rendu aussi grand que l'on veut à condition de prendrexsuffisamment proche de a.
Icifxmdès que a− xa avec
x≠a
m
a
a « a » est la valeur interdite.« a » est la valeur interdite. Pourxproche de a, les images Pourxproche de a, les imagesfxtendent donc vers ∞.−∞. limfx=∞limfx=−∞ On notera: . On notera . xaxa On doit parfois distinguer le cas oùxtend vers a en restant plus grand que a du cas oùxtend vers a en restant plus petit que a car le comportement defxn'est pas le même dans les deux cas. y 1 ➢Sixtend vers 0 avecx0, tend vers∞. x 1 m lim=∞ x On notera ou encore: ... x0 x0 1 ➢Sixtend vers 0 avecx0vers, tend −∞. x 1 lim=∞ x ➢On notera ou encore: ... x0x x0 Remarques: La fonction inverse donc a une limite à droite et une limite à gauche en 0 selon le signe dex. Elle n'a pas de limite en 0. 1 L'hyperbole H:y=est aussi proche que l'on veut de l'axe (Oy) pour x xsuffisamment proche de 0 (par valeurs supérieures ou inférieures). m dit que l'axe (Oy) estasymptote verticaleà la courbe en 0.
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x
IV)Limite finie en un réel a: limfx 2 Exemple:Soit la fonction définie surℝparfx=x−3x1. Cherchons x2 limfx=2²−3×21=−1 On a donc . x2 Définition: Soitfune fonction dont l'ensemble de définition contient un intervalle de la forme ] a ; a + r[ ou ]a – r; a [ (r > 0) et soitlun réel.
On dit que la fonctionfa pour limitelquandxtend vers a si et seulement si toutintervalle ouvert contenantlcontient également toutes les valeursfx pourxassez proche de a.
Autrement dit,∀ 0;∃h0tel que fxappartienne à ]l−; l[.
x
appartienne à ]a – h ; a+h[ et que
.
y
l+α l l-α
a-h
a
a+h
Conséquences: Les fonctions qui ne présentent pas de problèmes dans leurs ensemble de définition possèdent les propriétés suivantes: limx=a ➢Sia0, car la fonction racine carrée est définie sur IR*+. xa limPx=Pa ➢.Si P est un polynôme quelconque et a un réel, xa limQx=Qa ➢.Si Q est une fonction rationnelle et a un réel de son ensemble de définition, xa
V) Limites de référence: 1 Pour les fonctions de typesfx=(n∈ℕ): n x Limites en l'infini: 1 1 1111 lim=0 lim=0 lim=0lim=0lim=0lim=0 33 Pour n = 1 et pour our n = et x xn = 2x²;x²p 3xx x−∞x∞x∞x−∞x∞x−∞ Limites en 0: 1111 lim=∞lim=−∞lim=∞lim=∞ 22 xxxx et ; et ...(faire attention à la puissance dex) x0x0x0x0 x0x0x0 x0
Pour la fonction racine carrée:
limx=∞ x∞
(sa limite en
−∞
n'existe pas) et
1 lim=0 x x∞
.
n Pour les fonctions puissances (de type (∈ℕ): fx=xn 3 =∞ =∞ limx²limx²limx=∞ Pour n = 2 et Pour n = 3 x∞x−∞x∞ Règle générale:(pour tout entier n supérieur ou égal à 1)
n limx=∞ x∞
mais
n limx=∞ x−∞
si n est pair et
n limx=−∞ x−∞
et
3 limx=−∞ x−∞
si n est impair.
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x
VI)Opérations sur les limites: Dans tout ce qui suit, a désigne soit un réel, soit∞soit−∞. 1. Somme: limfx=...limgx=...limfgx=... Si et si alors xaxaxa l l ' l∞ l−∞ ∞ ∞ −∞ −∞ ∞−∞ « Forme indéterminée »signifie que l'on ne peut pas conclure directement. Il faut alors modifier la forme de l'expression f(x) + g(x) pour essayer de conclure. 1 1 lim− x x² Exemple: Trouver . x0 x0 2. Produit: limfx=...limgx=...limf×gx=... Si et si alors xaxaxa l l ' l , l0∞ l , l0−∞ ∞−∞ 0∞ou−∞ 1 limf×gx Exemple: Soitfx=etgx=x²:. Calculer x x∞ 3. Inverse: limfx=...l , l≠0∞ −∞0, avecf00, avecf0 Si xa 1 lim=... alorsfx xa 1 lim 3 Exemple:donner . −3x x∞ 4. Quotient: limfx=...limgx=...f Si et silim x=... xaxaalorsg xa
l l l , l0
l ' , l≠0 ∞ou−∞
0 avec g < 0
0 0 ∞ou−∞ ∞ou−∞ 0 Les 4 formes indéterminés à connaître:0×∞; 0
;
∞ ∞
;
∞−∞
.
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0
VII)Asymptotes:
Définition: Un droite asymptote est un droite vers laquelle la courbe représentative d'une fonction se rapproche. Il existe 3 types d'asymptotes:
1. Asymptotes horizontales: a) Définition: limfx=llimfx=l Si ou encore x ∞x−∞ de f en∞ou encore en−∞.
b) Inter rétation ra hi ue:
Δ
c) Méthode:
Pour démontrer que la droite d'équation limfx−l=0 démontrer que . x ∞
La démarche est la même en
−∞
, on dit que la droite d'équation
y=l
en prouvant
l
y
M
P
y=l
est asymptote horizontale à la courbe
est asymptote horizontale à la courbe d'un fonction f en
limfx−a=0 x−∞
.
x
∞
on peut
Ici ladistance MPreprésente l'écartentre la courbe def et la droiteΔd'équationy=l. SiΔest asymptote horizontale à Cf en∞, alors,au voisinage de∞, la distance MP tend vers 0. (De même siΔest asymptote horizontale à Cf en−∞, alors, au voisinage de−∞, la distance MP tend vers 0.) Mathématiquement, limfx−l=0 MP=fx−l.SiΔest asymptote horizontale à Cf en∞, alors . x ∞ 4x−3 Exemple:Soit la fonction f définie sur IR -{1} parfx=. x−1 Dans un repère, C est la courbe représentative de f et Δ la droite d'équation y = 4. Démontrer que Δ est asymptote à C en−∞et en∞. y C f
2.
Asymptotesverticales:
Si une fonction admet une limite à gauche ou à droite en un réel a, alors on dit que la droite d'équationx=aest asymptote verticale à la courbe de f.
Exemple:Démontrer que la droite d'équation Δ : y = 2 est asymptote verticale à la courbe de 1 f est la fonction définie parfx=. x−2
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x = a
x
b) Interprétation graphique: M et P sont les points d'abscissesxsitués respectivement sur la courbe C et sur la droite Δ d'équationy=axb. Le fait que la droite Δ est asymptote oblique à C en∞(resp.−∞) se traduit graphiquement par le fait que la distance MP tend vers 0 lorsquextend vers∞ (resp.−∞).
, signe qui
fx−axb
y=axb
x
fx−axb0 fx−axb0
Quand Quand
➢ ➢
Soit Δ une droite d'équation d'une fonction f.
y= ax + b
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c'est-à-direfxaxb,Cf est au-dessus de Δ . , c'est-à-direfxaxb,Cf est au-dessous de Δ.
3. Asymptotes obliques: a) Définition: aetbsont des réels avec a non nul. Cf est la courbe représentative d'une fonction f dans un repère. lim[fx−axb]=0lim[fx−axb]=0 Lorsque (resp. ), on dit que la droite d'équationy=axb x ∞x−∞ asymptote oblique à la courbe Cf en∞(resp.−∞).
est
Pour étudie laposition relativede Δ et de Cf, on doit étudierle signe de la différence dépend en général dex.
)à la courbe représentative
C f
y
1 Exemple:f est la fonction définie sur IR * parfx=2x−1. 2 x Dans un repère, C est la courbe représentative de f et Δ la droite d'équationy=2x−1. Démontrer que Δ est asymptote oblique à C en∞et en−∞. ............................................................................................................................................................................................................................. 4. Positions relatives des asymptotes par rapport à la courbe:
a≠0
c) Méthode: Pour démontrer que la droite Δ d'équationy=axbest asymptote à la courbe représentative d'une fonction f en∞(resp.−∞): ➢On exprimefx−axben fonction dexet on réduit l'expression obtenue. ➢On montre que la limite de cette différence en∞(resp.−∞)est égale 0.