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• Langue: Catalan

Extrait

UNIVERSITE DE REIMS CHAMPAGNE-ARDENNE
U.F.R. Sciences exactes et naturelles
THESE
pour obtenir le grade de
Docteur de l’Universit´e de Reims Champagne-Ardenne
Discipline :Math´ematiques
pr´esent´ee et soutenue publiquement par
Abdellah BECHATA
le18 juin 2001
Titre :
Analyse pseudo-diff´erentielle
p¡adique
Directeur de th`ese :
Andr´e Unterberger
JURY
Pr´esident M.J.NOURRIGAT Universit´e de Reims
Rapporteurs M. N.LERNER Universit´e de Rennes-1
M. P.TORASSO Universit´e de Poitiers
Examinateurs Mme C.CANCELIER Universit´e de Reims
M.P.GERARDIN Universit´e de Paris 7
M.S. KICHENASSAMY Universit´e de Reims
Directeur de th`ese M. A.UNTERBERGER Universit´e deRESUME :
On d´eveloppe ici l’analyse pseudodiff´erentielle des op´erateurs agissant sur les fonctions
na` valeurs complexes sur k , ou` k est un corps non archim´edien. Cette ´etude met en jeu,
pour commencer, une g´en´e-ralisation au cas p–adique des m´ethodes obligatoires (calcul de
Weyl, repr´esentation d’Heisenberg) ou souhaitables (utilisation de familles d’´etats coh´erents
et caract´erisation des classes d’op´erateurs par leur action sur ces ´etats) de l’analyse pseudo-
diff´erentielle.Onend´eduitunecaract´erisation“`alaBeals”declassesd’op´erateurs,ainsiqu’un
calcul fonctionnel des op´erateurs de poids un. L’absence d’op´erateurs de d´erivation interdit
biensurˆ toutd´eveloppement“`alaMoyal”delacompositiondedeuxsymboles:mais,utilisant
£la th´eorie des caract`eres multiplicatifs de k , on donne une formule de composition reliant
la d´ecomposition en termes “homog`enes” d’un produit f #f aux d´ecompositions de cette1 2
esp`ece de f et f .1 2
1Table des mati`eres
1 Introduction 4
2 Le calcul de Weyl p¡adique. 6
2.1 D´efinitions et notations g´en´erales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Un autre espaceS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Caract´erisation des espaces de fonctions par les familles d’´etats coh´erents. . . . 9
2.3.1 D´efinition des familles d’´etats coh´erents et premi`ere application. . . . . 9
d2.3.2 Caract´erisation de l’espaceS(k ) par les familles d’´etats coh´erents. . . 11
2.4 D´efinition du calcul de Weyl p -adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
22.4.1 D´efinition dans le cadre L : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.2 Calcul de Weyl et calcul standard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.3 de la fonction de Wigner de deux ´etats coh´erents (cf d´efinition ). 19
3 Calcul de Weyl et classes de symboles d´efinies par des poids. 21
3.1 D´efinition des espaces de symboles `a poids. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Caract´erisation par les ´etats coh´erents des op´erateurs poss´edant un symbole a`
poids. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Cons´equences sur la r´egularit´e des op´erateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 La caract´erisation de Beals et une application. 32
4.1 La caract´ de Beals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Applications `a l’existence de symboles pour certains op´erateurs. . . . . . . . . 34
5 Une formule de composition en calcul de Weyl p¡adique. 36
5.1 L’analogue non-archim´edien de la transformation de Mellin. . . . . . . . . . . 37
5.2 D´etermination de la forme du noyau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3 Explicitation des “constantes” a : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45”
5.4 La formule de composition en analyse pseudo-diff´erentielle p¡adique: . . . . . 56
6 Bibliographie : 73
2Remerciements
En premier lieu, je tiens `a exprimer ma plus profonde gratitude a` l’´egard de Monsieur
Andr´e Unterberger pour sa fraˆıcheur d’esprit, son enthousiasme math´ematique, pour l’infinie
patienceainsiqueladisponibilit´epermanentequ’ilasum’accorderdurantcesann´eesdeth`ese.
Je tiens a` remercier vivement Monsieur Nicolas Lerner et Monsieur Pierre Torasso pour
toute l’attention qu’ils ont port´ee `a cette th`ese, pour leurs remarques int´eressantes, et pour
avoir accept´e d’en ˆetre les rapporteurs.
Je remercie Monsieur Paul G´erardin pour l’honneur qu’il m’accorde en faisant partie de ce
jury.
Je suis ´egalement tr`es honor´e que Monsieur Jean Nourrigat soit le pr´esident de mon jury
de th`ese.
J’exprime mes plus sinc`eres remerciements `a .Madame Claudy Cancelier et Monsieur Sa-
tyana Kichenassamy qui ont accept´e d’ˆetre examinateurs de cette th`ese.
J’adresse mes plus vifs remerciements `a l’ensemble des membres du laboratoire qui m’ont
accord´e un excellent accueil, ainsi que leur sympathie pendant ces ann´ees de recherches. Plus
particuli`erement,jetiensa`exprimerdechaleureuxremerciements`aBriceCamus,AlainNinet,
Odile Fleury-Barka pour l’aide et le soutien qu’ils ont su m’apporter.
Pour finir, je remercie mes proches qui m’ont soutenu et encourag´e.
3Chapitre 1
Introduction
Lecalculpseudo-diff´erentiel,enparticulierlecalculdeWeyl,estunoutilfondamentaldans
l’´etudedesop´erateursapparaissantnaturellementdanslesprobl`emesd’´equationsauxd´eriv´ees
partielles. Cette th`ese a pour but le d´eveloppement du calcul de Weyl dans le cadre des corps
locaux non-archim´ediens . Une telle ´etude a ´et´e initi´ee en 1993 par S.Haran [H] . La m´ethode
employ´ee ici fait une large part `a des m´ethodes directement issues de l’analyse harmonique
(repr´esentation d’Heisenberg, repr´esentation m´etaplectique, familles d’´etats coh´erents). Elle
g´en´eralise ainsi les m´ethodes d´evelopp´ees dans ([U1], chapitre 1) dans le cas non-archim´edien.
D´esignons par k un corps local non-archim´edien et soit ˆ un caract`ere non trivial de k:
d dConsid´erons le groupe d’Heisenberg produit semi-direct de k £k par k: Au caract`ere ˆ est
attach´ee une repr´esentation irr´eductible unitaire bien d´efinie ( la repr´esentation d’Heisenberg)
2 ddu groupe d’Heisenberg dans l’espace L (k ): On introduit le calcul de Weyl, qui d´efinit une
2 d dapplication lin´eaire de L (k £ k ) (espace des symboles) dans l’espace des op´erateurs de
2 dHilbert-Schmidt sur L (k ); par une g´en´eralisation naturelle de la formule usuelle dans le cas
archim´edien. L’un des objets de ce travail est d’´etendre la signification de l’op´erateur Op(f)
2 d dde symbole f a` des cas plus g´en´eraux que celui ou` f appartient `a L (k £k ):
Il n’existe pas, dans le cas local non-archim´edien, d’op´erateur de d´erivation, non plus que
de fonction polynomiale `a valeurs complexes : mais il est n´eanmoins possible, comme l’avait
fi flremarqu´e S.Haran, d’introduire deux familles (I ) et (J ) d’op´erateurs se substituant aux
classiques op´erateurs de d´erivation et de multiplication, et permettant de d´efinir l’analogue
des espaces de Sobolev ou les images de ces derniers par la transformation de Fourier. Ceci
dconduit a` une d´efinition naturelle aussi bien de l’espace S(k ) “de Schwartz” et de son dual
que des classes de symboles associ´ees `a des poids poss´edant des propri´et´es analogues `a celles
du cas archim´edien.
2 dLam´ethodeemploy´eeiciconsiste`apartirdelafonction`2L (k );fonctioncaract´eristique
ddel’ensembledespointsdek `acoordonn´eesdansl’anneaudesentiersde k,quel’onanorma-
lis´eeconvenablement,etdelafamille(` )quel’onend´eduitenfaisantagirlarepr´esentationy;·
d’Heisenberg.Toutlecalculsymboliquedesop´erateursdansdesclassesdesymboles`apoidsest
obtenu`apartird’unecaract´erisationdesop´erateursOp(f)dansuneclassedonn´eeparunepro-
0 0pri´et´erelativeauxproduitsscalaires(Op(f)` ;` ):Poussantcette m´ethodeplusloin (sui-y;· y ;·
vant [U-U]), on parvient `a une caract´erisation “`a la Beals” de certaines classes d’op´erateurs :
ceci permet de justifier l’existence d’un calcul fonctionnel de ces op´erateurs.
Unpointsurlequell’analysepseudo-diff´erentiellenon-archim´edienneestfondamentalement
diff´erente de l’analyse usuelle concerne la formule de composition des symboles, qui exprime
le symbole f#g du compos´e de deux op´erateurs de symboles f et g: Tout comme dans le cas
archim´edien,ilexisteuneformuleint´egraledecomposition,quin’ariendeparticulier.Onsait
4quedanslecasarchim´edien,led´eveloppementens´erieenti`eredel’exponentiellequiintervient
dans cette int´egrale conduit `a la formule asymptotique “de Moyal”
1
f#gsfg+ ff;gg+:::
4i…
Rien d’analogue ne saurait exister dans le cas non-archim´edien parce qu’il n’y a pour com-
mencer ni analogue du crochet de Poisson, ni d´eveloppement en s´erie du caract`ere ˆ devant se
substituer `a l’exponentiell