·‡‡‡‡‡‡‡·‡·‡‡‡·‡····‡·‡·‡·‡··RACINES CARREES Emilien Suquet, suquet@automaths.com I Définitions, calcul avec les radicaux La racine carrée d’un nombre positif b est le seul nombre positif d dont le carré est égal à b. 2On a donc d = b et on note d = b 2Par définition, on a donc avec b ≥ 0, b ≥ 0 et ( b) = b 4 22Ex : 9 = 3 (car 3 = 9) ; 0 = 0 ; 1 = 1 ; 16 = 4 ; 25 = 5 ; = 9 3 Remarque : les nombres négatifs n’ont pas de racine carrée A partir de la définition, nous allons obtenir les trois règles suivantes : 2Si b est un nombre positif, alors b = b -b n’est pas forcement un 2Si b est un nombre négatif, alors b = -b nombre négatif. -b désigne l’opposé de b. Démonstration:2 2 2Pardéfinitionona: b =davecd ≥0etd =b 2 2Commed =b ,onaalorsd=boud=b(voircourssurleséquations)er 21 cas:sibestpositif,alorsonprendd=bcarddoitêtrepositif.Onadonc b =bème 22 cas:sibestnégatif,alorsonprendd=bcarddoitêtrepositif.Onadonc b =b 2 2 6 3 32Exemples : 3 = 3 ; (-5) = 5 = -(-5) ; 10 = (10 ) = 10 Le produit de deux racines carrées est égal à la racine carrée du produit. Evolution du Pour a 0 et b 0 : a b = a b symbole racine Démonstration:2 2 2( a b) = a b a b=( a) ( b) =ab 1220 : R 2ab =ab puisqueab>0( ) 2 2 21450 : R Onadonc a b = ab etonpeutconclurecar a b>0et ab>0( ) ( ) Le ...
II Applications a) Simplification d’écritures On préfère écrire une racine sous la formea boùaetbsont des entiers avecble plus petit possible : 2 200 =100´1002 =´ 2= 10´ 2= 102 On utilise ici la règle : On utilise ici la règle : 2 aa = ab=a bL’intérêt de modifier ainsi l’écriture des racines est, par exemple, de pouvoir simplifier des expressions numériques contenant des racines et des sommes. 50+ 62 =25´22 =+ 65 22+ 62 = 11 On préfère parfois ne pas avoir des fractions contenant des radicaux au dénominateur. Il existe quelques techniques permettant de l’éviter : 25 25×77 25 A == = 7 7 7×7 On multiplie le dénominateur 7.et le numérateur par 3 +2(3 +2)×(5 – 1)210 –– 3 +3 5210 –– 3 +3 5 B == == 5 – 14 ( )( ) 5 + 15 + 1× 5– 1 On multiplie le dénominateur On obtient ainsi une forme que l’on et le numérateur par5 – 1. connaît bien : (a+b) (a–b) b)Factorisations 2 En utilisant le fait que pour tout nombre positifbon a(b)=b:, on effectue des factorisations Exemples similaires sans racine : 222 A = 2x+ 62x+ 9 =(2x)+ 2 × 32x= (2+ 3x+ 3 )2 2 A’ = 4x+ 4x+ 1 = ( 2x+ 1 )
2 c) Equations du typex=a2 L’équationx=aoùxest l’inconnue possède 0, 1 ou 2 solutions suivant le signe dea. a< 0 : pas de solution a= 0 : 0 est l’unique solution de l’équation a> 0 :aet –asont les deux uniques solutions de l’équation Démonstration : a < 0 : un carré ne peut être négatif,l’équation n’a donc pas de solution 2 a = 0 :x= 0 si et seulement six= 0, l’équation a donc une unique solution 0 2 a > 0 :x=a2 x–a= 0 (x–a) (x+a) = 0 ab= 0 si et seulement si a = 0 ou b = 0 x–a= 0 oux+a= 0 x=aoux= -a{ } S =-a,a2 Exemple :x= 5 Attention : on a très souvent tendance xou= 5x= -5 à oublier la solution négative. L’équationa deux solutions : -5 et5 d) Développements La présence de racines carrées dans des expressions numériques ou algébriques n’entraîne aucune modification des règles que l’on utilise pour les développements. Voici quelques exemples : 2 22 ère utilisation de la 1 A = (2 + 5 )=(2)+ 2´ 2´5 + 5= 2 + 105 + 25 = 27 + 105 identité remarquable 2 22ème 2utilisation de la 2 B = (2x= (2– 7 )x2) –´ 2´14 22x –+ 497 =7 + identité remarquable 2 2 ème C = (3 –5 ) (3 +5 ) =(3)–(5)= 3 – 5 = -2utilisation de la 3 identité remarquable 2 ème 2 2 utilisation de la 3 D = (x– 2) (x+ 2) =x–(2)- 2= x identité remarquable E = 4´5( 2– 3 ) –´2 – 12 –( 10– 5 ) = 4502 – 12 –+ 55 = 45 25 –122 + 55 = -+ 5 F =2´( 2x– 6) = 22 x –12 4 3× 53 = 4 × 5 ×3 ×3 = 20 × 3 =60En allant trop vite, on répond parfois 203