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L
ES
S
YSTÈMES DE
N
UMÉRATION
- C
OURS
La numération est la science qui traite de la dénomination et de la réprésentation graphique des nombres.
Le problème posé est de représenter tous les entiers naturels et les décimaux à l'aide d'un ensemble fini de
symboles (souvent des
chiffres
) rassemblés selon des règles (le
code
) pour former un nombre.
Il est important de connaître les différents systèmes car ils sont utilisés en informatique et plus
généralement dans l
e
traitement de l'information. Selon le contexte il peut être plus judicieux d'utiliser un
code plutôt qu'un autre, il faut donc savoir comment passer de l'un à l'autre.
1 L
ES DIFFÉRENTS SYSTÈMES
1.1L
E SYSTÈME DÉCIMAL
Comme c'est le système de représentation naturel pour tout le monde, il nous servira à poser les bases de
la numération.
C’est le système de base 10 que nous utilisons tous les jours. Il comprend dix
symboles
différents :
0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 .
Notation -
Exemple du nombre 2356 dans ce système
Par convention nous l’écrirons N=(2356)
10
. L’indice '10' indique la base dans laquelle le nombre est écrit.
Nous verrons plus tard que cela a son importance.
Décomposition du nombre dans sa base
Ce nombre N peut être écrit sous la forme suivante :
N = 2.10³ + 3.10² + 5.10
1
+ 6.10
0
= 2000+300+50+6=2356.
Cette méthode de décomposition sera utilisée pour toutes les autres bases.
1.2L
E SYSTÈME BINAIRE
Bien connu du grand public, ce système dit de base 2 comprend
deux symboles différents : 0 et 1
.
Chacun d’eux est aussi appelé bit
(
B
inary dig
IT
= BIT)
.
Pour écrire un chiffre on ne peut utiliser que ces deux symboles. Ainsi l'écriture suivante est correcte :
N=(11001)
2
. Par contre l'écriture suivante ne l'est pas : N=(201253)
2
. Dans cette dernière écriture les
symboles 2, 3 et 5 sont interdits car la base utilisée est la base binaire (indiquée par l'indice 2).
Tout ceci est très bien, mais que vaut le chiffre (11001)
2
dans la base 10 (qui est pour nous la base
naturelle) ?
Tout d'abord nous allons décomposer le nombre dans sa base (comme ci-dessus). Nous avons donc :
N = 1.2
4
+ 1.2
3
+ 0.2
2
+ 0.2
1
+ 0.2
0
Il ne reste plus qu'à calculer ce que nous venons d'écrire, ainsi N=(11001)
2
vaut (25)
10
.
L
ES SYSTÈMES DE NUMÉRATION
– C
OURS
PAGE
1/4
1.3L
E SYSTÈME
H
EXADÉCIMAL
Ce système est moins connu du grand public, mais il est très utilisé comme mode de représentation d'un
nombre. C'est un système de base 16, il comporte donc 16 symboles :
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C,
D, E et F.
Comme nous avions déjà les 10 premiers symboles, il ne nous fallait que 6 symboles
supplémentaires afin de compléter notre jeu. Il a été décidé de prendre les premières lettres de l'alphabet.
Les valeurs des différentes lettres sont :
A=10, B=11, C=12, D=13, E=14 et F=15
.
Pour écrire un nombre
,
nous avons donc toutes les combinaisons possibles à partir de ces symboles.
Exemple
(A12EF)
16
(123)
16
(ABCDEF)
16
Tout ceci est très bien, mais que vaut le nombre (1AB)
16
en base 10 ?
Encore une fois nous allons décomposer le nombre dans sa base, ce qui nous donne :
N = 1.16
2
+ A.16
1
+ B.16
0
Pour avoir quelque chose de calculable, il faut maintenant remplacer les lettres par leur équivalent :
N = 1.16
2
+ 10.16
1
+ 11.16
0
Il ne reste plus qu'à calculer l'expression, ce qui nous donne N=(1AB)
16
vaut (427)
10
.
2 C
AS GÉNÉRAL DU PASSAGE D
'
UN SYSTÈME DE BASE
«
A
»
AU SYSTÈME DÉCIMAL
Avec ce que nous venons de voir, la transformation est relativement facile. Il suffit de suivre les étapes
suivantes :
Décomposer le nombre dans sa base.
Remplacer éventuellement les symboles dans leur équivalent décimal.
Effectuer l'opération pour avoir un résultat en base 10.
3C
AS DU PASSAGE DU SYSTÈME DÉCIMAL À UN SYSTÈME DE BASE
«
A
»
3.1T
ECHNIQUE DES DIVISIONS SUCCESSIVES
La méthode de la division successive sert à transformer n'importe quelle nombre dans n'importe quelle
base. La recette est la suivante :
pour transformer un nombre décimal en un nombre de base « a », il suffit
de diviser le nombre décimal par la base « a » jusqu'à obtenir un quotient inférieur à la base. Le résultat
recherché se compose du dernier quotient et de tous les restes des divisions successives pris dans l'ordre
inverse.
L
ES SYSTÈMES DE NUMÉRATION
– C
OURS
PAGE
2/4
Exemple
Transformation du chiffre (25)
10
dans la base 2 (binaire)
.
La lecture du résultat se fait toujours en plaçant le dernier quotient en premier et en écrivant les restes
successifs dans l'ordre inverse où ils sont apparus. Pour le calcul que nous venons de faire nous avons
donc (25)
10
est équivalent à (11001)
2
.
Exemple
Transformation du nombre (427)
10
en base 16 (hexadécimal)
L'ensemble des opérations nous donne le résultat suivant :
Le problème est que les symboles « 11 » et « 10 » n'existent pas dans la base 16. Il faut les remplacer par
leur équivalent :
La lecture se fait de la même manière que précédemment. Le résultat est donc : (1AB)
16
3.2T
ABLEAU DE CORRESPONDANCE
A partir de ces techniques nous pouvons établir le tableau de correspondance d'une même quantité dans
différentes bases.
Décimal
Binaire
Hexadécimal
Décimal
Binaire
Hexadécimal
0
0000
0
8
1000
8
1
0001
1
9
1001
9
2
0010
2
10
1010
A
3
0011
3
11
1011
B
4
0100
4
12
1100
C
5
0101
5
13
1101
D
6
0110
6
14
1110
E
7
0111
7
15
1111
F
L
ES SYSTÈMES DE NUMÉRATION
– C
OURS
PAGE
3/4
25
2
12
1
2
6
0
2
1
1
2
3
0
427
16
26
11
16
1
10
427
16
26
B
16
1
A
4C
ONVERSION BINAIRE
<>
HEXADÉCIMAL
Pour l'instant nous n'avons vu que des techniques de conversion tournant autour du système décimal.
Dans le cas de la conversion binaire vers hexadécimal, il n'est pas nécessaire de partir du binaire pour
aller vers le décimal, puis du décimal aller vers l'hexadécimal.
4.1C
ONVERSION
H
EXADÉCIMAL
– B
INAIRE
Chaque symbole du nombre écrit dans le système hexadécimal est remplacé par son équivalent écrit dans
le système binaire.
Exemple : Convertir N = (ECA)
16
= (1110 1100 1010)
2
.
E
C
A
4.2C
ONVERSION
B
INAIRE
– H
EXADÉCIMAL
C’est l’inverse de la précédente. Il faut donc regrouper les 1 et les 0 du nombre par 4 en commençant par
la droite, puis chaque groupe est remplacé par le symbole hexadécimal correspondant.
Exemple : Convertir N = (1 1000 0110 1111)
2
= ( 1
8
6
F
)
16
.
0001 1000 0110 1111
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ES SYSTÈMES DE NUMÉRATION
– C
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