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Chapitre 8
Équation d’une droite
Dans toute la suite, on se place dans un repère (OIJ) du plan.
Une équation pour une droite est une condition numérique sur les coordonnées d’un point pour qu’il
appartienne à cette droite.
Elle se présentera comme une relation d’égalité utilisant x et y coordonnées des points dans le repère.
Exemples : y = 2x 1, x 0,1 = 0 ...
Seules certaines relations sont des équations de droites, on propose dans la suite de découvrir lesquelles.
I Les parallèles aux axes du repère
Propriété
Valeur de la constante c
Toute parallèle à l’axe des abscisses (Ox) est l’en- 2
sembledespointsduplanayantlamêmeordonnée.
1
Ce qui se traduit par une équation de droite de la
1 2 3 4O (Ox)forme y =c.
Démonstration:
Prenons deux points A et B sur cette droite Δ, montrons alors qu’ils ont même ordonnée.
0 0Pour cela, on considère leur points associésA etB sur (Ox)
ΔA B ayant même abscisse. Comme la droite Δ = (AB) est paral-c
0 0 0 0lèle à (Ox) etAB =AB , on a queABBA est un parallélo-
gramme.
Ses diagonales se coupent donc en leur milieu :Ç å
x +x y +0A B A0Le milieu de [AB ] est de coordonnées ; .
2 2Ç å
x +x y +0A B B0 0 0O A B Le milieu de [AB] est de coordonnées ; .(Ox)
2 2
On obtient donc y =y , que l’on notera c.A B
Réciproquement, tout autre point M qui a la même ordonnée c est forcément un point de la
droite Δ
0En effet, soitM(x ;c) un tel point etM (x ,0) son point associé sur l’axe (Ox). On vérifie alors que lesM M
27b
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28 CHAPITRE 8. ÉQUATION D’UNE DROITE
0 0 0 0segments [AM ] et [AM] ont le même milieu! Le quadrilatère AMM A est donc un parallélogramme et
de là, la droite (AM) est parallèle à l’axe des abscisses. On peut alors en déduire que les droites (AM) et
Δ sont confondues puis que M est un point de Δ.
(Oy)Propriété
2
Toute parallèle à l’axe des ordonnées (Oy) est l’en-
1semble des points du plan ayant la même abscisse.
c
2 1 1 2OCe qui se traduit par une équation de la forme x =c.
Démonstration:
On procède de la même façon...
II Les non parallèles aux axes ou obliques
Propriété
Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées (Oy) est dite oblique et possède une équation de
la forme y =mx+p.
I m est le coefficient directeur de la droite,
I p est l’ordonnée à l’origine.
Dans ce cas la droite est la courbe de la fonction affine f qui à x associe f(x) =mx+p.
La droite est alors une droite affine.
Démonstration:
Soit (D) une droite oblique, on choisit deux points distincts A(x ;y ) et B(x ;y ).A A B B
Soit M(x;y) un point de (D). Une équation de (D) est une condition sur les coordonnées de M pour
traduire l’appartenance à (D).
On a trois cas possibles pour M,
I M appartient à la demi-droite issue de A ne contenant pas B1
I M appartient à le segment [AB]2
I M appartient à la demi-droite issue de B ne contenant pas A.3
Dans les trois cas, avec une parallèle à (Ox) passant parA, et en projetant parallèlement à (Oy) sur cette
droite, on obtient une configuration de Thalès avec les points AMN et ABC. N projeté de M et C celui
de B.
On fait un schéma dans un repère orthogonal, mais cela reste vrai dans tout autre repère puisqu’on utilise
que du parallélisme aux axes et pas leur perpendicularité.
De là, dans tous les cas on peut appliquer le théo-
M rème de Thalès et on a :3
B
AM AN MN
M = = ,2
AB AC BCN1 A x x y yA A
qui donne = .
x x y yB A B AN2 C N3
Les produits en croix donnent alors une relationO
y yB AM1 de la forme y =mx+p, avec m = .
x xB Ab
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6
b
II. LES NON PARALLÈLES AUX AXES OU OBLIQUES 29
Remarque
I m = 0 donne le cas parallèle à (Oy).
I La droite (AB) est oblique si, et seulement si, x =x .A B
I Une équation réduite est unique : deux droites ayant la même équation réduite sont confondues.
Propriété Formule du calcul de m
y yB A
Pour une droite oblique (AB), on a m = .
x xB A
On retrouve la caractérisation des fonctions affines :
m est le coefficient de proportionnalité entre les accroissements des images et des antécédents
Propriété Interprétation graphique de m et p
La droite coupe l’axe des ordonnées à l’ordonnée à l’origine p.
En prenant deux points A et B tels que x x = 1,B A
on a la possibilité de visualiser graphiquement le coefficient m,
puisque dans ce cas : m =y y .B A
m positif : la droite est dirigée vers le haut m négatif : la droite est dirigée vers le bas
B
+1m pA
mA+1
B
p
Exercices : Livre : 65, 72 et 73 page 275, 276
Utiliser une équation.
Exercices : Livre : 64, 66 page 275
Lire une équation.
Exercices : Livre : 67, 82, 96 page 275, 276, 280
Montrer un alignement avec une équation.
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