cours et exercices corrigés

Jean Lory

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¾¾¾˛·„fi*·¾fi"Mathématiques discrètes CoursChap 2 Structures algébriques fondamentalesPartie 1 Loi de composition interneI Loi de composition interne1.D éfinitionSoit E un ensemble.On appelle loi de composition interne dans E toute application du carré cartésien E E dans E.E E E(a ;b ) a b composé des éléments a et b2 .E xemples• L’ addition est une LCI dans IN car on peut toujours calculer la somme de deux entiers naturels : le résultat est un entier naturel.• La soustraction n’ est pas une LCI dans IN.CE : 5 - 7 ne peut être calculé dans IN• La loi de composition des applications est une LCI dans l’ensemble des applications dans E.IIP ropriétés éventuelles1.C ommutativitéSoit T une LCI dans E.On dit que T est commutative dans E lorsque :a,b E, a T b = b T a Exemples• L’ addition est commutative dans IR.• La soustraction (qui est une LCI dans l’ensemble des entiers relatifs) n’ est pas commutative dans ZZ.CE : 1 - 2 2 - 1Page 1„˛p"˛˛„""˛¨p"·pI.U .T. d’Amiens D.U .T. I nformatique Première a nnée2 .Ass ociativitéSoit T une LCI dans E.On dit que T est associative dans E lorsque :a,b,c E, ( a T b ) T c = a T ( b T c )(parenthèses inutiles)RappelQuand l’opération T n’ est pas associative dans E, en l’absence de parenthèses, on calcule toujours de gauche à droite :a T b T c ( a T b ) T c désigne toujours .Exemples• L’ addition est associative dans ID, l’ensemble des décimaux relatifs.ZZ• ...

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• Langue: Catalan

Extrait

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Mathématiques discrètes Cours
Chap 2 Structures algébriques fondamentales
Partie 1 Loi de composition interne
I Loi de composition interne
1. Définition
Soit E un ensemble.
On appelle loi de composition interne dans E toute application du
carré cartésien E E dans E.
E E ?? E
(a ;b )?? a b composé des éléments a et b
2 . Exemples
• L’ addition est une LCI dans IN car on peut toujours calculer la
somme de deux entiers naturels : le résultat est un entier naturel.
• La soustraction n’ est pas une LCI dans IN.
CE : 5 - 7 ne peut être calculé dans IN
• La loi de composition des applications est une LCI dans
l’ensemble des applications dans E.
II Propriétés éventuelles
1. Commutativité
Soit T une LCI dans E.
On dit que T est commutative dans E lorsque :
a,b E, a T b = b T a
Exemples
• L’ addition est commutative dans IR.
• La soustraction (qui est une LCI dans l’ensemble des entiers
relatifs) n’ est pas commutative dans ZZ.
CE : 1 - 2 2 - 1
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I.U .T. d’Amiens D.U .T. I nformatique Première a nnée
2 . Ass ociativité
Soit T une LCI dans E.
On dit que T est associative dans E lorsque :
a,b,c E, ( a T b ) T c = a T ( b T c )
(parenthèses inutiles)
Rappel
Quand l’opération T n’ est pas associative dans E, en l’absence de
parenthèses, on calcule toujours de gauche à droite :
a T b T c ( a T b ) T c désigne toujours .
Exemples
• L’ addition est associative dans ID, l’ensemble des décimaux
relatifs.
ZZ• La soustraction n’ est pas associative dans .
CE : ( 1 - 2 ) - 3 1 - ( 2 - 3)
• La loi o est associative dans A ( E ) :
f,g,h A(E) ( h o g ) o f = h o ( g o f )
3.Id empotence
Soit T une LCI dans E.
On dit que T est idempotente dans E lorsque :
a E, a T a = a
Exemples
• La multiplication n’ est pas idempotente dans IR.
CE :
• La réunion ( qui est une loi de composition interne dans P(E) ) est
idempotente dans P(E).
A P(E) , A A = A
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Cours Mathématiques di scrètes Jean Lory
4. Distributivités
Soient T et deux LCI dans E.
On dit que T est distributive à gauche par rapport à dans E
lorsque :
a,b,c E, a T ( b c ) = ( a T b ) ( a T c )
On dit que T est distributive à droite par rapport à dans E
lorsque :
a,b,c E, ( b c ) T a = ( b T a ) ( c T a )
Exemple
La multiplication est distributive (gauche+ droite) par rapport à
l’addition dans IR.
III Eléments particuliers
1.E lément n eutre
Soit T une LCI dans E.
Soit e un élément de E.
On dit que e est élément neutre de E pour T lorsque :
a E, e T a = a T e = a
Exemples
• Le réel « 1 » est l’élément neutre de IR pour la multiplication.
• L’ application identique sur E est l’élément neutre de A ( E ) pour
la loi de composition des applications.
f A(E)Id o f = fo Id = f
E E
Unicité de l’élément neutre
Soient e et e deux éléments neutres de l’ensemble E pour T.1 2
e T e = e puisque e est élément neutre1 2 1 2
e T e = e puisque e est élément neutre1 2 2 1
d’ où e = e1 2
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I.U .T. d’Amiens D.U .T. I nformatique Première a nnée
2 . Elément a bsorbant
Soit T une LCI dans E.
Soit s un élément de E.
On dit que s est élément absorbant de E pour T lorsque :
a E, s T a = a T s = s
Exemple
« 0 » est un élément absorbant de IR pour la multiplication.
3. Elément idempotent
Soit T une LCI dans E.
Soit i un élément de E.
On dit que i est élément idempotent de E pour T lorsque :
i T i = i
Exercice
Déterminer les éléments idempotents de IR pour la multiplication.
2
On doit résoudre l'équation x = x .
4. Elément s ymétrisable
Définition
Soit e l’élément neutre de E pour la LCI T.
On dit qu’ un élément x de E est symétrisable lorsque :
x' E: x T x' = x' T x = e
On dit alors que x’ est un symétrique de x.
L’ élément neutre e est toujours son propre symétrique car e T e = e.
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Cours Mathématiques di scrètes Jean Lory
Exemples
• Dans ( IR ; + ) :
x IR, !x' IR : x +x'= x' + x = 0
Le symétrique de x est x’ = - x appelé opposé de x.
• Dans ( IR ; ) :
* *
x IR , !x' IR : x x'= x' x = 1
Le symétrique de x est x’ = 1 / x appelé inverse de x.
• Dans ( A ( E ) ; o ) : seules les applications bijectives sont
symétrisables :
-1 -1
f o f = f o f =Id
E
-1
Le symétrique de f est f sa bijection réciproque.
Unicité du symétrique
Soit T une LCI associative dans E.
Soit e l’élément neutre de E pour la LCI T.
Tout élément admet au plus un symétrique.
Preuve
Supposons que x admette deux symétriques x et x .1 2
Calculons l’élément a ci-dessous de deux façons différentes :
a = ( x T x ) T x a = x T ( x T x )1 2 1 2
= e T x a = x T e2 1
= x a = x2 1
Symétrique du composé de deux éléments
Soit T une LCI associative dans un ensemble E possédant un
élément neutre e pour cette LCI.
Soient x et y deux éléments symétrisables.
Simplifier l’écriture des composés qui suivent :
b = ( x T y ) T ( y’ T x’ ) c = ( y’ T x’ ) T ( x T y )
En déduire que ( x T y )’ = y’ T x’
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I.U .T. d’Amiens D.U .T. I nformatique Première a nnée
IV Partie stable
1. Définition
Soit E un ensemble muni d’ une LCI T.
Une partie A de E est dite stable pour T dans E lorsque :
a,b E, a,b A ? aT b A
2 .E xemples
• L’ ensemble PAIR des nombres pairs est stable pour l’addition
ZZdans .
Preuve
ZZa PAIR donc a = 2 k avec k
ZZb PAIR donc b = 2 k’ avec k’
a + b = 2 k + 2 k’
= 2 ( k + k’ ) en posant k + k’ = k’ ’
ZZ = 2 k’ ’ avec k’ ’
a + b PAIR
On a donc démontré que :
a , b PAIR, a + b PAIR
• L’ ensemble IMPAIR des nombres impairs n’ est pas stable pour
ZZl’addition dans .
Preuve
CE : 3 IMPAIR et 5 IMPAIR mais 8 IMPAIR
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