Cours d'algèbre linéaire - Niveau Deug

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DEUG MIASPremi`ere ann´eeMath´ematiques`COURS d’ALGEBRE´LINEAIREA. CortellaMMIVACette brochure a ´et´e r´ealis´ee en LT X2 .εEUFRSciences etTechniques deBesanc¸onUFRSTTable des mati`eres.AB MIAS 1 Alg`ebre lin´eaire. Cours. 2002–2003.UFRSciences etTechniques deBesanc¸onUFRSTChapitre I. Structure d’espace vectoriel 1Chapitre IStructure d’espace vectorielNous avons formalis´e au premier semestre les notions d’ensemble et d’application. Cer-tains ensembles sont en plus munis de ”structures” : on peut par exemple additionnerdes ´el´ements, les multiplier, ou effectuer d’autres op´erations. La plus utile et la plussimple de ces structures est celle d’espace vectoriel : on appellera espace vectoriel toutensemble qui ressemble par ses propri´et´es au plan vectoriel qui a ´et´e d´efini dans lesecondaire.Le but de ce cours est d’´etudier les propri´et´es communes de tous ces espaces.1 Quelques exemplesma Le plan vectoriel usuel2Il a ´et´e d´efini dans le secondaire comme suit : dans le planR , dont les ´el´ements sontappel´es des points, on d´efinit une relation d’´equivalence sur les couples de points par :(A,B) est ´equipollent `a (C,D) si et seulement si (A,B,D,C) est un parall`elogramme.−→Le vecteur AB est la classe d’´equivalence du bipoint (A,B).−→ −→ −→On peut additionner des vecteurs : AB +AC = AD ou` D est le point du plan telque (A,B,D,C) est un parall`elogramme. (Cette addition v´erifie la relation de Chaslesetc.. ...

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• Langue: Catalan

Extrait

DEUG

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Premi`ereann´ee

Mathe´matiques

` COURS d’ALGEBRE ´ LINEAIRE

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2002–2003.

Chapitre I. Structure d’espace vectoriel

Chapitre I

Structure d’espace vectoriel

Nousavonsformalis´eaupremiersemestrelesnotionsd’ensembleetd’application.Cer- tains ensembles sont en plus munis de ”structures” : on peut par exemple additionner dese´l´ements,lesmultiplier,oueffectuerd’autresope´rations.Laplusutileetlaplus simple de ces structures est celle d’espace vectoriel : on appellera espace vectoriel tout ensemblequiressembleparsespropri´ete´sauplanvectorielquia´et´ed´efinidansle secondaire. Lebutdececoursestd’´etudierlesproprie´te´scommunesdetouscesespaces.

✍ 1 ☞✎ ✌ Quelques exemples a ♠ Le plan vectoriel usuel Ila´et´ed´efinidanslesecondairecommesuit:dansleplanR 2 els´me´edo,lentsstntno appele´sdespoints,ond´finitunerelationd’´equivalencesurlescouplesdepointspar: e (A Be)tse´uqipollent`a(C D) si et seulement si (A B D Colrglle`.maem)eunstrapa − A → Blaces´’dessalelaviuqeipubednc(ntoiA B). Le vecteur t −− On peut additionner des vecteurs :A → B+ − A → C=A → Do`uDest le point du plan tel que (A B D Cole`llarapnutse)alerirefivne´tioieaddCettme.(gramitalednosahCsel etc...) L’ensemble des vecteurs est en bijection avecR 2 (il suffit de fixer un pointAet d’envoyer − le pointMsur le vecteurA − M → ). SiOest le point (00), etIetJsont respectivement les points (10) et (01), en notant − i= − O → Ietj=O → J, O to → ut vecteur peut s’exprimer en fonction deietj. En particulier si −− M= (x y), alorsM=xi+yjtuoT.sruetcevtdriec’´onnfceontcoidn2eevtcuesr particuliers. Soit maintenantλ∈Re,ppnaqulit`anaM= (x ytropparedeti´ethmohol’)λ, on obtient un nouveau pointM 0 = (λx λy.)eCrd´deniefipelaetrmλ − O − M → = −− M → 0 O= λxi+λyj.

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2ruoC.eriae´niler3.00–20220s.S1Alg`ebMIA

Onadoncmunil’ensembledesvecteursd’uneloinot´ee+etd’uneloinote´e, qui satisfont entre autre : (?) : siλ µ∈Retuetvsont deux vecteurs, alors λ(µu) = (λµ)u λ(u+v) =λu+λv(λ+µ)u=λu+µu1u=u. b ☞ ✍✌ ✎ reai´einelemt`yssnu’dsnoitulosseblednsemL’eeohom`gne 1/1e´quation`a2inconnues Conside´ronslesous-ensembleSdeR 2 edm´orftilusoes(snox ynatio)uqe´’led 3x−2y= 0 Un couple (x y´ree)ederifiel’unedesproopisitnoseslsoltsioutiensuestemel’stn´vli ´equivalentessuivantes: 2y= 3x; 3 y 2 =x; (x y) = (x 3 2 x) ; ∃λ∈R(x y) = (λ 3 2 λ) ; ∃µ∈R(x y) = (2µ3µ) ; ∃µ∈R(x y) =µ(23) , o`uond´fiitα(z te´etant()commαz αt). e n Si on pose de plus (x y) + (x 0 y 0 ) = (x+x 0  y+y 0 finit+d´etquelicanemere´vfefiion), une application deS × SdansS(`aui,qs s 0 ) associes+s 0 , et que la multiplication d´efinituneapplicationdeR× SdansSui,q(`aα s) associeαs. Ces2ope´rationverifientencorelesformules(?nftecton’´nsriecnoiuttoet),ioutoles ´ delasolutionparticuli`ere(23). 2/2´equationsa`3inconnues Conside´ronsmaintenantlesous-ensembleTdeR 3 itul(snoseos´mdefrox y z) du syst`emed’´equations   2x+    3 x x − +2 3 y y y + +2 + z z z=0 0= =0  Enproce´dantparexempleparlame´thodedeGauss,ontrouvequ’untriplet(x y z)∈ R 3 est dansTleer´unteisexils’ntelemstueseiµtel que (x y z) = (−4µ µ5µ) Ende´finissantlasommeetlamultiplicationcommeci-dessus,onvoitunenouvellefois que la somme de deux solutions est une solution et que le produit d’une solution par unre´elestencoreunesolution.Cesope´rationssurl’ensembledessolutionsv´erifient encore (?`(articulinftecton’´nsriectulopnoidnoisaletuoiseloottu,)te−415). ere U F R  SU F R ciences et T echniques de B aneson¸c ST

Chapitre I. Structure d’espace vectoriel

c ❧ L’ensemble des applications d’un ensembleEdansR SoitEun ensemble et l’ensembleA(ERcnro)e,e´netoR E , des applications deEdans R. Sifetgsont deux telles applications et siλ∈Rsonticalippsa,onpeutd´efinirlef+g etλfdeEdansRpar : six∈ E, alors (f+g)(x) =f(x) +g(x) et (λf)(x) =λf(x). Onala`encored´efiniuneop´erationinterne+etuneope´rationexternequi satisfont `a(?entndinosruqlueis.utrelesatousoirp’diray’nasappatsicrtl´´eenem).Il ✎ d ✍ ☞ ✌ sedelbmesne’L´ene’usdontilusoqua.diff.lin.homo`gnee d’ordre 1 Consid´eronsl’ensembledesfonctionsyurniesd´efitinu,con´dreseteelssvibaRqui avec lesnotationspre´ce´dantesve´rifient

y 0 =ay

o`uarets`--aidxfie´c,e’nrtuel´ees ∀x∈R y 0 (x) =ay(x) Siy 1 ety 2 sont solutions etλ∈R, alors les fonctionsy 1 +y 2 etλy 1 sont des fonctions n ver d´efinies,continuesetde´rivablessurRe´ir´veersseeptcesiv,dedy 1 0 +y 2 0 etλy 1 0 . O ´ ifie doncimm´ediatementqu’ellessontsolutionsdel’e´qua.diff.propos´ee. Encoreunefois,lesope´rations+etsftisano`t(a?), et toute solution est un produit delasolutionparticulie`rex7→e ax arunpl.r´ee 2 ✎ ✌ ☞ ✍ nsioerimPnstoe`er Dans toute la suite du cours,Ksigneral’undescoprse´dQ,R,C. (Mais marcherait aussi surunautrecorps,c’est-a`-direunautreensembledanslequelonpourraitadditionner etsoustraire,multiplieretdivisersaufparze´ro,commedansR).

a ♠ itionsD´efin De´finition1 Une loi interne (resp. externe parK) sur un ensembleEest une application T:E×E→E(resp.B:K×E→E). Notations: SiEest muni d’une loi interneTou d’une loi externeB, au lieu de noter T(x y) (resp.B(λ x)) pour l’image d’un couple parTouB, on noteraxT youλBx. Exemple: 1. + et×sont des lois internes surRouC. U F R S ciences et T echniques de B esancon ¸

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4ou.C.2rs´einreai.–2003002rblegle`SAA1IM

2.Danschacundesexemplespre´c´edants,+estuneloiinternesurEet×est une loi externe deRsurE. De´finition2 Un espace vectoriel surKest un ensembleEeet´onenretniiolenu’unidm+et d’une loiexternenot´ee, satisfaisant aux axiomes (ou propositions) suivants : G 1 ∀x y z∈E(x+y) +z=x+ (y+z)(loi interne associative) G 2 ∀x y∈E x+y=y+x(loi interne commutative) G 3 ∃e∈E∀x∈E e+x=xeemtnen´(leutre) ´ G 4 ∀x∈E∃y∈E x+y=eotneme´le´()´eospp V 1 ∀x∈E1x=x(loi externe unitaire) V 2 ∀x∈E∀λ µ∈K λ(µx) = (λµ)x(loi externe multiplicative) V 3 ∀x∈E∀λ µ∈K(λ+µ)x=λx+µx(distributivite sur l’addition deK) V 4 ∀x y∈E∀λ∈K λ(x+y) =λx+λy(distributivite sur l’addition de Seance E) ´ 01

Proposition 1 Si(E+ )est un espace vectoriel surK(ousimsiorlG4`aal),ire´1Gefimelpvtne existe dansEmenee´´lirafivte´iqueununntG 3 , et six∈Eunuetsixle´euqin´tle,i emen ytel quex+y=e(G 4 ). Remarque: un ensemble muni d’une loi interne satisfaisant les axiomesG 1  G 2  G 3  G 4 estappele´ungroupecommutatif. Un tel ensemble n’est jamais vide puisqu’il contient le neutre pour la loi +. Un espace vectoriel n’est donc jamais vide non plus. Usages: 1. Un espace vectoriel est donc en fait un triplet (E+ ), mais on a l’habitude de dire que l’ensembleEi-luemmˆsteesenuecaptceveirolsurK. 2. On dit aussiKespace vectoriel tout simplement s’il n’y a pas-espace vectoriel, ou ambiguite´surlecorpsK.e´suilit 3.Lese´l´ementsdeKedstnemsoseedssactnpaep´lles´el´elairesetEdes vecteurs. 4.L’´ele´mentneutrepour+esteng´en´eralnot´e0ou0 E etruun.leLevtcueetappel´evecr oppos´ed’unvecteurx∈E(i.e.le vecteurytel quex+y´)tsarnlnee´´eot=0−x. e en g b ✎☞ ✍✌ Exemples fondamentaux Touslesexemplesdelapartiepr´ec´edantesontdesespacesvectoriels.Certainsespaces vectorielsinterviendrontre´gulie`rementdanscettee´tude:

1/ Le corpsK Le corpsKmuni de son addition et de sa multiplication (internes) habituelles est un espacevectorielsurlui-mˆeme:laloimultiplicationestbienaussiuneloiexternesur U F R U F R S ie et T echniques de B e ¸ c nces sancon ST