cours-broue-representation-groupe

Description

777Autour des groupes de réflexions Master 2 Mathématiques fondamentalesCours : Michel Broué Université Paris VII Denis DiderotTD : Vincent Beck Année 2005 2006Représentation des groupes finis1 G-moduleDéfinition 1 G-module. Soient k un corps et G un groupe fini. Un G-module est un k-espace vectorielde dimension finie muni d’un morphisme de groupe ρ : G→GL(V). Le morphisme ρ est appelé morphismestructurel ou morphisme associé à la structure de G-module de V. On dit alors que V est une représentationde G. Lorsqu’on a besoin de préciser le corps de base, on note kG-module plutôt que G-module.GDéfinition 2-morphisme. Soient k un corps, G un groupe fini et V ,V deux G-modules. Pour i = 1,2,1 2on note ρ : G→GL(V ) le morphisme structurel. Un G-morphisme (ou morphisme de G-module) f : V →Vi i 1 2est une application k-linéaire telle que f ◦ρ (g) =ρ (g)◦f pour tout g ∈ G. On note Hom (V ,V ) l’espace1 2 G 1 2vectoriel des G-morphismes de V dans V .1 2Définition 3 G-isomorphisme. Soientk un corps,G un groupe fini etV ,V deux G-modules etf :V →V1 2 1 2′ ′ ′un G-morphisme. S’il existe un G-morphismef :V →V tel quef◦f = id etf ◦f =id , on dit quef est2 1 V V2 1un G-isomorphisme. On vérifie aisément qu’un G-morphisme bijectif est un G-isomorphisme. On dit que V et1V sont G-isomorphes (ou plus simplement isomorphe s’il n’y a pas d’ambiguité) s’il existe un G-isomorphisme2G-mod.f :V →V . On note alors V ≃ V .1 2 1 2Définition 4 Sous-G-module. Soient k un corps, G un groupe ...

Informations

• Publié par: Choud
• Nombre de lectures: 78
• Langue: Catalan

Extrait

Autour des groupes de réflexions Cours : Michel Broué TD : Vincent Beck

Master 2Mathématiques fondamentales Université Paris VIIDenis Diderot Année 20052006

Représentation des groupes finis

1Gmodule Définition 1Gmodule.Soientkun corps etGun groupe fini. UnGmodule est unkespace vectoriel de dimension finie muni d’un morphisme de groupeρ: G→GL(V). Le morphismeρest appelé morphisme structurel ou morphisme associé à la structure deGmodule deV. On dit alors queVest une représentation deG. Lorsqu’on a besoin de préciser le corps de base, on notekGmodule plutôt queGmodule. Définition 2Gmorphisme.Soientkun corps,Gun groupe fini etV 1 ,V 2 deuxGmodules. Pouri= 1,2, on noteρ i : G→GL(V i )le morphisme structurel. UnGmorphisme (ou morphisme deGmodule)f: V 1 →V 2 est une applicationklinéaire telle quef◦ρ 1 (g) =ρ 2 (g)◦fpour toutg∈G. On noteHom G (V 1 ,V 2 )l’espace vectoriel desGmorphismes deV 1 dansV 2 . Définition 3Gisomorphisme.Soientkun corps,Gun groupe fini etV 1 ,V 2 deuxGmodules etf: V 1 →V 2 ′ ′′ unGmorphisme. S’il existe unGmorphismef: V 2 →V 1 tel quef◦f= id V 2 etf◦f= id V 1 , on dit quefest unGisomorphisme. On vérifie aisément qu’unGmorphisme bijectif est unGisomorphisme. On dit queV 1 et V 2 sontGisomorphes (ou plus simplement isomorphe s’il n’y a pas d’ambiguité) s’il existe unGisomorphisme Gmod. f: V 1 →V 2 . On note alorsV 1 ≃V 2 . Définition 4SousGmodule.Soientkun corps,Gun groupe fini,VunGmodule etρ: G→GL(V)le morphisme structurel. Un sousGmodule deVest un sousespace vectoriel stable parρ(g)pour toutg∈G. Soientkun corps,Gun groupe fini etVunGmodule. Pourx∈Vetg∈V, on utilise les notations suivantes pour désignerρ(g)(x): ρ(g)(x) =ρ g (x) =ρ g x=gx=g∙x=g V x. Définition 5Ginvariants.Soientkun corps,Gun groupe fini etVunGmodule. L’ensemble G V ={x∈V,∀g∈G, gx=x} est un sousGmodule deVappelé l’ensemble des invariants (ou desGinvariants) deV. Exercice 1Construction deGmodules.SoientV,V 1 ,V 2 etWquatreGmodules dont on note respective mentρ V , ρ 1 , ρ 2 etρ W les morphismes structurels. a)Montrer que l’applicationρ, définie parρ(g) = id k pour toutg∈G, munitkd’une structure deGmodule. b)Déterminer le nombre de classe d’isomorphisme de structure deGmodule surk. ′ ′′ c)SoitVun sousGmodule deV. MunirVetV/Vd’une structure deGmodule. d)Montrer que l’applicationρdéfinie par ( G−→GL(Hom k (V 1 ,V 2 )) ρ: −1 g7−→(f7→ρ 2 (g)◦f◦ρ 1 (g)) ∗ munitHom k (V 1 ,V 2 )d’une structure deGmodule. En déduire une structure deGmodule surV. e)Montrer que l’applicationρdéfinie par ( G−→GL(V 1 ⊕V 2 ) ρ: g−7→ρ 1 (g)⊕ρ 2 (g) munitV 1 ⊕V 2 d’une structure deGmodule. f)Montrer que l’applicationρdéfinie par ( G−→GL(V 1 ⊗V 2 ) ρ: g→7−ρ 1 (g)⊗ρ 2 (g) munitV 1 ⊗V 2 d’une structure deGmodule.

g)Montrer que l’applicationρdéfinie par ( G−→GL(Bil(V 1 ×V 2 ,W)) ρ:    −1−1 g→−7B7→(x, y)7→ρ W (g)B(ρ 1 (g)(x), ρ 2 (g)(y)) munit Bil(V 1 ×V 2 ,W)d’une structure deGmodule. En déduire une structure deGmodule sur Bil(V×V, k). ′ ′′ h)Soitk→kune extension de corps. Munirk⊗Vd’une structure dekGmodule.

Définition 6Représentation unité.La représentation définie à la questionade l’exercice 1 s’appelle la représentation unité ou encore la représentation triviale. Lorsqu’est utilisée une structure deGmodule surk sans précision, il s’agit de la représentation unité.

Exercice 2Morphisme.SoientV,V 1 ,V 2 ,WquatreGmodules. a)Montrer queid V ∈End G (V). b)Soientu∈Hom G (V,V 1 )etv∈Hom G (V 1 ,V 2 ). Montrer quev◦u∈Hom G (V,V 2 ). G GG G c)Soitf∈Hom G (V,W), montrer quef(V )⊂W. Sifest unGisomorphisme, montrer quef(V )= W. d)Soitf∈Hom G (V,W), montrer queImfetKerfsont des sousGmodules respectivement deWetV. ′ ′ e)SoitVun sousGmodule deV. Montrer que l’inclusioni: V→Vest un morphisme deGmodule. ′ ′ f)SoitVun sousGmodule deV. Montrer que la surjection canoniqueπ: V→V/Vest un morphisme de Gmodule. Montrer aussi que pour toutf∈Hom G (V,W)tel quef◦i= 0, il existe une unique application ′ f∈Hom G (V/V,W)telle quef◦π=f. ∗ g)Montrer queV 1 ⊗V 2 etHom k (V 1 ,V 2 )sontGisomorphes. ∗ ∗∗ ∗ h)Montrer queV 1 ⊗V 2 ,(V 1 ⊗V 2 ), Bil(V 1 ×V 2 , k)etHom k (V 1 ,V 2 )sontGisomorphes. i)Montrer queV⊗k,VetHom k (k,V)sontGisomorphes.

Exercice 3SousGmodule.SoientV,V 1 ,V 2 ,WquatreGmodules. G a)DéterminerHom k (V 1 ,V 2 ). G GG b)Montrer que(V 1 ⊕V 2 V) = 1 ⊕V 2 . ∗ c)Montrer que le crochet de la dualitéh∙,∙i V,V ∈Bil(V×V, k)estGinvariant. ∗ ∗ ∗ d)Montrer que Sym(V,W)est un sousGmodule de Bil(V×V,W). Déterminer le sousGmodule deV⊗V correspondant à Sym(V, k)via l’isomorphisme de la questionhde l’exercice 1. ∗ ∗ e)Montrer que Alt(V,W)est un sousGmodule de Bil(V×V,W). Déterminer le sousGmodule deV⊗V correspondant à Alt(V, k)via l’isomorphisme de la questionhde l’exercice 1. Pour les questionsfetg, on supposecark6= 2. 2∗ ∗∗ ∗ f)Montrer que Sym(V, k)estGisomorphe àS (V )= (V⊗V )/hx⊗y−y⊗x, x,y∈Vi. 2∗ ∗∗ ∗ g)Montrer que Alt(V, k)estGisomorphe à= (VΛ (V )⊗V )/hx⊗x, x∈Vi.

2 Caractère Définition 7Caractère.SoientVunGmodule etρle morphisme structurel. On appelle caractère de la représentationVet on noteχ V la fonction définie par ( G−→k χ V : g7−→tr (ρ(g)). On appelle caractère deGune fonctionχ: G→ktelle qu’il existe unGmoduleVtelle queχ=χ V .

Exercice 4Caractère.SoientVetWdeuxGmodules. a)Montrer que siVetWsont isomorphes alorsχ V =χ W . b)Calculerχ V (1). c)Calculerχ k . d)Calculerχ V⊕W ,χ V ,χ V⊗W etχ Hom k (V,W) en fonction deχ V etχ W . ∗

Exercice 5Fonctions surG.On appelleRla relation d’équivalence de conjugaison surG: −1 gRh⇐⇒ ∃k∈G, g=khk. On noteF(G, k)(resp.F(G/R, k)) lakalgèbre des fonctions deGdansk(resp. deG/Rdansk). La propriété universelle du quotient permet d’identifierF(G/R, k)à la souskalgèbre deF(G, k)des fonctions centrales c’estàdire la souskalgèbre formée des fonctions constantes sur les classes de conjugaison. a)Montrer que la fonction ( F(G, k)−→F(G, k) σ: −1 F7→−(g7→F(g) ). est un automorphisme de l’espace vectorielF(G, k)stabilisant l’espace des fonctions centrales. b)Soit Car G l’espace vectoriel engendré par les caractères. Montrer que Car G forme une souskalgèbre stable parσde l’espaces des fonctions centrales. On suppose pour la questioncquecarkne divise pas|G|. c)Montrer que la fonction   F(G, k)×F(G, k)−→k  h∙,∙i: 1 P 1 P ′ ′−1′  (F,F )−7→F(g)F (gF() =g)σ(F )(g).  |G| |G| g∈Gg∈G est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée et que sa restriction à l’espace des fonctions centrales est non dégénérée.

3 Exemple Exercice 6Représentation d’action de groupe.SoitXun ensemble fini sur lequelGagit. On noteF(X, k) lakalgèbre des fonctions deXdanskete x la fonction définie pare x (y) =δ xy poury∈X. a)Montrer que la famille(e x ) x∈X forme une base deF(X, k). b)MunirF(X, k)d’une structure deGmodule. Montrer que pour cette structure, on age x =e gx . G c)Montrer quedim k F(X, k) =|X/G|. g g d)Montrer queχ F(X,k) (g) =|X|oùX ={x∈X, gx=x}.

Définition 8Représentation régulière.LorsqueGagit sur luimême par multiplication à gauche, la représentation obtenue comme dans l’exercice 6 s’appelle la représentation régulière deG. On noteχ reg le caractère de la représentation régulière.

Exercice 7Représentation régulière. a)Calculerχ reg . Dans la questionb, on suppose quecarkne divise par|G|. b)SoitVunGmodule. Montrer quehχ reg , χ V i= dim k (V).

4 Semisimplicité

Définition 9Gmodule irréductible.SoitVunGmodule. On dit queVest irréductible (ou simple) si V6= 0et les seuls sousGmodules deVsont{0}etV. Définition 10Caractère irréductible.Soitχun caractère deG. On dit queχest irréductible (ou simple) siχest le caractère d’unGmodule irréductible. Définition 11Gmodule indécomposable.SoitVunGmodule. On dit queVest indécomposable si pour toute décompositionV = V 1 ⊕V 2 oùV 1 etV 2 deux sousGmodules alorsV 1 = 0ouV 2 = 0. Définition 12Gmodule semisimple.SoitVunGmodule. On dit queVest semisimple (ou complètement ′ ′′′ réductible) si pour tout sousGmoduleVdeV, il existe un sousGmoduleVdeVsupplémentaire deV.

Exercice 8Lemme de Schur.SoientV,WdeuxGmodules irréductibles. a)Soitf∈Hom G (V,W). Montrer quefest nul ou un isomorphisme. b)En déduire queHom G (V,W) = 0ouVetWsont isomorphes. c)Montrer queEnd G (V)est unekalgèbre à division. Pour les questionsdete, on suppose quekest algébriquement clos. d)Montrer quef∈End G (V)est une homothétie. e)En déduire quedim k Hom G (V,W) = 1siVetWsont isomorphes etdim k Hom G (V,W) = 0sinon.

Pour les exercices 9 et 10, on suppose quecarkne divise pas|G|. Exercice 9Semisimplicité.SoientV,WdeuxGmodules. On noteρle morphisme structurel associé àV. P −1 G a)Montrer quep V =|G|ρ(g)∈End G (V)est un projecteur d’imageV. g∈G P G−1 b)En déduire quedim k (V )1 k =|G|χ V (g) =hχ V , χ k i. g∈G c)Montrer quehχ V , χ W i= dim k Hom G (W,V)1 k = dim k Hom G (V,W)1 k . d)Montrer que sidim k V = 1alorshχ V , χ V i= 1 k . ′ ′ e)Théorème de Maschke. SoientVun sousGmodule deVetpun projecteurklinéaire d’imageV. Montrer, ′ à l’aide dep End k (V) (p), queVadmet un sousGmodule supplémentaire. En déduire queVest semisimple. f)Montrer queVest irréductible si et seulement siVest non nul et indécomposable. g)Montrer queVest somme directe de modules irréductibles. h)En déduire que Car G est engendré par les caractères irréductibles. Exercice 10Orthogonalité.SoientV,WdeuxGmodules. On noteρle morphisme structurel associé àV. a)On suppose queVetWsont irréductibles et ne sont pasGisomorphes. Montrer quehχ V , χ W i= 0. On suppose pour les questionsb,c,d,e,f,g,hetiquecark= 0. b)Montrer quehχ V , χ W iest un entier naturel. c)On supposeVetWirréductibles. Montrer les équivalences Gmod. hχ V , χ W i>0⇐⇒ hχ V , χ W i 6= 0⇐⇒V≃W⇐⇒χ V =χ W . d)En déduire que le nombre de classes d’isomorphismes de représentations irréductibles est égal au nombre de caractères irréductibles et que ce nombre est inférieur ou égal au nombre de classes de conjugaison deG. On noteχ 1 , . . . , χ s les caractères irréductibles deGetV i unGmodule irréductible de caractèreχ i . Tout Gmodule irréductible est doncGisomorphe à un et un seul desV i . s e)Montrer qu’il existe une unique famille(d 1 (V), . . . , d s (V))∈Ntelle queχ V =d 1 (V)χ 1 +∙ ∙ ∙+d s (V)χ s . L’entierd i (V)s’appelle la multiplicité deV i (ou deχ i ) dansV(ou dansχ V ). s P 2 f)Montrer les égalitéshχ V , χ i i=d i (V)hχ i , χ i ipour touti∈[1, s]ethχ V , χ V i=d i (V)hχ i , χ i i. i=1 Gmod. g)Montrer les équivalencesV≃W⇐⇒χ V =χ W ⇐⇒ ∀i∈[1, s], d i (V) =d i (W). reg h)On noted i la multiplicité deχ i dansχ reg . Montrer que s 2 dim V P (dim V) reg i i ∀i∈[1, s], d i =et|G|=. hχ i , χ i i i=1 hχ i , χ i i i)Montrer que sihχ V , χ V i= 1alorsVest irréductible. Pour les questionsj,k,l,metn, on suppose quecark= 0etkalgébriquement clos. j)Montrer quehχ V , χ V i= 1si et seulement siVest irréductible. s P reg 2 k)Montrer qued i = dim V i pour touti∈[1, s]et|G|V= (dim i ). i=1 P −1 Pour les questionsl,metn,fdésigne une fonction centrale. On définit alorsϕ V =f(g)ρ V (g). g∈G −1 l)On suppose queVest irréductible. Montrer queϕ V est une homothétie de rapport(|G|dim(V)hf, χ V i).