Exercices sur la convergence uniforme

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Exercices sur la convergence uniforme 1. Calculer la norme infinie des fonctions f de R dans R definies ci-dessous et preciser lesquelles sont bornees. a) f(x) = arctan x b) f(x) = x1 + x2 c) f(x) = sin(x 2) d) f(x) = x 2 + sin x x2 + 1 e) f(x) = x3 x2 + 1 f) f(x) = 1? 2x2 12 + x4 2. Etudier la convergence simple et uniforme sur R des suites (fn) de fonctions definies ci-dessous a) fn(x) = x 1 + nx2 b) fn(x) = sin(nx) 1 + n2x2 c) fn(x) = x arctan(nx) 3. Etudier la convergence simple et uniforme sur R de la suite de fonctions (fn)n≥0 definies par fn(x) = { 0 si x 6= n n3 si x = n 4. Soit a un nombre reel. Etudier la convergence simple et uniforme sur R+ de la suite (fn)n≥1 de fonctions definies par fn(x) = naxe?nx . 5. Etudier la convergence simple et uniforme sur [ 0, 1 ] , puis sur [ 0, a ] avec a dans ] 0, 1 [ de la suite (fn)n≥1 de fonctions definies par fn(x) = n(xn ? xn+1) .

  • n2x2

  • inegalite triangulaire

  • convergence uniforme

  • fn

  • comportement relatif des puissances et des exponentielles


Publicado el : martes, 19 de junio de 2012
Lectura(s) : 283
Fuente : iecn.u-nancy.fr
Número de páginas: 11
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Exercices sur
la convergence uniforme
1.Calculer la norme infinie des fonctionsfdeRdansRci´epretd´rseseiceinossudse lesquellessontborne´es. x 2 a)f(x) = arctanxb)f(x) = c)f(x) = sin(x) 2 1 +x 2 3 2 x+ sinx x12x d)f(x) = e)f(xf)) = f(x) = 2 2 4 x+ 1x12 ++ 1 x 2.Etudier la convergence simple et uniforme surRdes suites (fnfed)tcnosnoie´dnies cidessous xsin(nx) a)fn(x) = b)fn(x) = c)fn(x) =xarctan(nx) 2 2 2 1 +nx1 +n x 3.Etudier la convergence simple et uniforme surRde la suite de fonctions (fn)n0 de´niespar 0 six6=n fn(x) =3 nsix=n + 4.SoitarmesuEtl.eer´rembnouniforetunmplecesigrnenoevlrcadueiRde la suite (fn)n1nied´nsrpaesdtcoifeno
anx fn(x) =.n xe
5.Etudier la convergence simple et uniforme sur [ 0,[ 01 ] , puis sur , a] avecadans ] 0,1 [ de la suite (fn)n1rapseine´onsdnctidefo
n n+1 fn(x) =n(xx).
6.[ 0Etudier la convergence uniforme sur ,+[[ , puis sur a,+[ aveca >0 de la suite (fn)n1ine´dsnrapsedioctonef
2 2 π+n x fn(x) = sin. 2 1 +n x 7.[ 0Etudier la convergence uniforme sur ,puis sur 2 ] , [ 0, a] suite (fn)n1arspiene´dsnoitcnofed
aveca] 0,1 [ de la
n+1 2πx fn(x) = sin. n 1 +x n x x+n 8.Soit la suite (fn)n0deurss[0e´dseincnofnoit,+[ parfn(x) = . 2n2x x+n a) Trouver la limite simple de la suite (fn[ 0) sur ,+[ . Aton convergence uniforme sur cet intervalle ?
b) Montrer que pour tout couple (X, Yptsotifiosanesbromen)dnemetcirtsslee´r
X+Y2 2 2 X+Y X+Y
1
.
c) Sia >´ce´rpe´aletnedeielediritalegn´e´ud0d,mrdelesaiuet(convergenceunifofn) sur [a,+[ .
9.
Soit la suite (fn)n0[sesdurneidse´itnoofcn1,1 ] par
2n+1 fn(x) =x x .
a) Etudier la convergence uniforme de cette suite.   1 R b)End´eduirelalimitedelasuitefn(t)dt. 1 10.Soit la suite (fn)n0niesd´e[0ssurednoitcnof,par1 ] f0= Id[ 0,1 ], et sin0 par 1 2 fn+1= 1(fn). 4 a) Montrer que la suite (fn) converge simplement vers une fonction constantefque l’on de´terminera. n b) Montrer que sin0 et six[ 0,, on a1 ] |fn(x)c| ≤(1/2) . Quend´eduiton?
11.Soit (unlemitiereegtndeiq)uuenceosnuvitenum´eru, et (vn) une suite de ] 0,[ de limitev >0. x+un a) Montrer que la suite (fnnotcd)fe0r[suesnied´nsio,+[ parfn(x) = x+vn convergeuniform´ementsur[0,+[ .
12.Soit (fn) une suite de fonctions continues surRonvequicniforgeutneme´mrsrev une fonctionfsurR. fn a) On suppose queftbesre´pruei´nrouseentrerqueement.Moalusti(ee) converge uni f form´ementsurRverse.
b) Donner un contreexemple sifnrob.ee´ptsanse
13.Soit (un) une suite de fonctions continues sur [ 0,xuedselee´irporpest´1]quiv´erisuivantes i) il existeM >0, telle que, pour toutx0de [ ,1 ] , et tout entiern, on ait|un(x)| ≤M. ii) pour toutadans ] 0,la suite (1 [ , un[evsrs0rumre´emtnrgeunifo)convea,1 ] . Soitf[ 0une fonction continue sur ,telle que1 ] f(0) = 0. Montrer que la suite (f unfonieurgntme´ermevnoc)evsrs0ru0[,1 ] .
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Corrige´
1.ncfoesLnoD.ctescttounuesontidsnoitnossno´nee|f|(R) est un intervalle. Lorsque ftenrit´e,ona´egalempso`sdeueenap
||f||= sup|f(x)|, x0
etilsutd´etudierfsur [ 0,+[ .
a) La fonctionfest impaire. Sur [ 0,+[ la fonction est strictement croissante et varie de0`aπ/2, doncfsebtorn´eeet π ||f||=. 2 b) La fonctionf[ 0est impaire. Sur ,[ , elle est positive et on a
2 2 2 (1 +x)2x1x 0 f(x=) = , 2 2 2 2 (1 +x+) (1 x)
doncfestborn´eeetadmeutmnxamimuoprux= 1. Alors 1 ||f||=f(1) =. 2
c) L’ensemble|f|(R) est inclus dans [ 0,et par ailleurs1 ] , f(π/2) = 1, doncfest borne´eet ||f||= 1. d)Ona,enutilisantlin´egalite´triangulaireetenmajorant|sinx|par 1,
2 2 x+|sinx|x+ 1 |f(x)| ≤ = 1, 2 2 x+ 1x+ 1 Donc|f|(R[ 0) est inclus dans ,De plus1 ] . f(π/2) = 1, doncftborn´eeetse
||f||= 1.
e) La fonctionfest impaire, et quandxtend vers l’infini,f(x)x, doncf(x) tend vers +. La fonctionfptsanset´eeeborn
f) La fonctionfest paire. On a
||f||= +.
4 2 3 4 2 (12 +x)(4x)(12x)4x4x(xx12) 0 f(x) = =. 4 2 4 2 (12 +x+) (12 x)
02 Lenum´erateurdef(x) se factorise en 4x(x2)(x+ 2)(xIl est positif sur [ 2+ 3). ,+[ etn´egatifsur[0,2 ] . Doncfde´dceortif(0) = 1/2`1af(2) =1/4 puis croit de1/a`4 0.Ilenre´sultequefrnbosteqteue´ee 1 ||f||= max(|f(0)|,|f(2)|) =|f(2)|=. 4 3
2.a) Pour tout entiern0, on afn(0) = 0 et la suite (fn(0)) converge vers 0. Six6= 0, on afn(x)1/nxet donc (fn(x)) converge encore vers 0. Donc la suite (fn) converge simplement surRet sa limitefest la fonction constante nulle. On cherche||fnf||=||fn||on´etudieom.Cpomelrurexeecic)b.1fnsur [ 0,+[ . Sur cet intervallefnest positive et
qui s’annule pourx= 1/
net
2 1nx 0 f(x) =, n 2 2 (1 +nx)
||fn||=fn(1/
1 n) =, 2n
et puisque la suite (||fn||ite(qeeualusrne´ustlle,is0erevrgveonc)fn) converge uni forme´mentvers0surR.
b) Pour tout entiern0, on afn(0) = 0 et la suite (fn(0)) converge vers 0. Six6= 0, on a, en majorant|sin(nx)|par 1,
1 |fn(x)| ≤, 1 +nx 1 et puisque la suite ( ) converge vers 0 quandneteˆemdtmeneseili,ninlrsvend 1+nx de la suite (|fn(x)|). Donc la suite (fn) converge simplement surRet sa limitefest la fonction constante nulle. sin 1 Mais la suite (fn(1/n)) est une suite constante qui vaut et qui ne converge pas vers 2 0. La suite (fnur0s)neconvergepasuinofmre´emtnevsrR.
c) Pour tout entiern0, on afn(0) = 0 et la suite (fn(0)) converge vers 0. Six >0, la suite (nx) admet +comme limite, et la suite (fn(x)) converge versπx/2. Six <0, la suite (nx) admet−∞comme limite, et la suite (fn(x)) converge versπx/2. La suite (fn) converge donc simplement vers la fonctionfndi´eeparf(x) =π|x|/2.
Les fonctionsfetfnsont paires. Etudions les variations degn=ffn0sur [ ,+[ . La fonctiongnest positive sur cet intervalle et on a π nx 0 g(x) =− −arctan(nx), n 2 2 2 1 +n x
puis 2 2 2 1 +n xx(2n x)n2n 00 g(x) =n=. n 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 +n x) 1 +n x(1 +n x) 00 0 Commg0r[suevitage´ntse,+qru´teeniull[e,seftervetin.alletdesssiorce´crusetna n n 0 0 0 De plusg(x) tend vers 0 lorsquextend vers +, doncgest positive. Alorsgest n n n croissante, et ||gn||= limgn(x). x+Mais, siu >0, π1 arctanu= arctan, 2u
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donc, six >0, 1 gn(x) =xarctan. nx Enfin, puisque lorsqueutend vers 0, on a arctanuudue,qanque´dntiudeno,ntend vers l’infini,x´tenatx´e, 1 1 gn(x)x=. nx n Alors 1 ||gn||= limgn(x) =, x+n et la suite (||gn||.Ilenr´esultequealusti(eers0rgevonve)cfneurgfoni´ermntmec)noev versf.
3.Sixreennombpositier`dseit,fuqeenutsn > x, on afn(x) = 0, et la suite (fn(x)) converge vers 0. Dans le cas contraire, la suite (fn(x)) est la suite constante nulle et converge encore vers 0. La suite (fn) converge donc simplement vers 0. Mais, pour tout entier natureln, on a 3 ||fn||=n , et la suite (fnn)cegrpenoev0sre.unasorifemm´tven
4.Pour tout entiern1, on afn(0) = 0 et la suite (fn(0)) converge vers 0. Six >aellliequesopxetnenesecsedtssanspuiifdeelatnerttrmemoopdecultsu´elr,i0 suite (fn(x)) converge vers 0. Donc la suite (fn) converge simplement vers la fonction nulle. Etudions les variations defn. La fonctionfnest positive et l’on a
0anx f(x) =n e(1nx), n
et la fonctionfnadmet un maximum pourx= 1/n. Alors
1 e fn(1/n) =. 1a n La suite (||fn||) converge vers 0 si et seulement sia <1. Donc la suite (fn) converge uniform´ementvers0sietseulementsia <1.
5.Pour tout entiern0, on afn(1) = 0 et la suite (fn(1)) converge vers 0. Six[ 0,estdpoexntnellieedfiiupsnassesecseletanerttrmemoopeducsultlr´e1[,i n que la suite (nx) converge vers 0, donc (fn(x)) converge aussi vers 0. Donc la suite (fn) converge simplement vers la fonction nulle.
Etudions les variations defn. On a
0n1n n1 f(x) =n(nx(n+ 1)x) =nx(n(n+ 1)x), n
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