Cours de Probabilités : Modèles et Applications. Anne Philippe

Description

Cours de Probabilités : Modèles et Applications.
1 2Anne Philippe & Marie-Claude Viano
Niveau Master 1
Université de Nantes
Année 2009-2010
1. [e-mail]
2. [e-mail]Table des matières
Chapitre 1. Conditionnement 4
1.t par un événement 4
2. Conditionnement par une partition au plus dénombrable d’événements 6
3.t par une tribu 10
Annexe : Chaînes de Markov à espace d’états au plus dénombrable 16 : Démonstration de la Proposition 1.10 19
Chapitre 2. Vecteurs Gaussiens 21
1. Rappels : vecteurs aléatoires, covariance, fonction caractéristique. 21
2. Lois gaussiennes dansR 22
3. Vecteurs Gaussiens 23
4. Vecteur gaussien et indépendance 24
5. Existence 26
6. Densité d’un vecteur gaussien 26
7. Vecteur gaussien et conditionnement 27
8. Projection d’un vecteur gaussien 29
Chapitre 3. Convergences 32
1. Définition des modes de convergence 32
2. Quelques propriétés 32
3. Compléments sur la convergence presque sûre 33
4. Théorème de Borel-Cantelli. 34
Chapitre 4. Sommes de variables aléatoires 36
1. Inégalité de Kolmogorov 36
2. Loi Forte des Grands Nombres 37
3. Théorème de Glivenko-Cantelli 40
Chapitre 5. Convergence en loi 44
1. Définitions 44
2. Convergence en loi et convergence en probabilité 45
3. Propriétés de la convergence en loi 46
4. Convergence en loi et fonctions caractéristiques 47
5. Théorème central limite 48
6. de Cramér 50
7. Théorème de Lindberg-Feller 53
3CHAPITRE 1
Conditionnement
Dans ce chapitre, ( ;A;P) désigne un ...

Sujets

• L'Espérance (homonymie)
• Domaine public en droit public français
• Démonstration automatique de théorèmes
• Clio
• Matrice unité
• Théorème de Rice

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Extrait

Cours de Probabilités : Modèles et Applications.

AnneiliheppP 1 &elaudraMC-eiViano 2

1. [e-mail] 2. [e-mail]

Niveau Master 1

Université de Nantes Année 2009-2010

Table des matières Chapitre 1. Conditionnement 1. Conditionnement par un événement 2. Conditionnement par une partition au plus dénombrable d’événements 3. Conditionnement par une tribu Annexe : Chaînes de Markov à espace d’états au plus dénombrable Annexe : Démonstration de la Proposition 1.10 Chapitre 2. Vecteurs Gaussiens 1. Rappels : vecteurs aléatoires, covariance, fonction caractéristique. 2. Lois gaussiennes dansR 3. Vecteurs Gaussiens 4. Vecteur gaussien et indépendance 5. Existence 6. Densité d’un vecteur gaussien 7. Vecteur gaussien et conditionnement 8. Projection d’un vecteur gaussien Chapitre 3. Convergences 1. Définition des modes de convergence 2. Quelques propriétés 3. Compléments sur la convergence presque sûre 4. Théorème de Borel-Cantelli. Chapitre 4. Sommes de variables aléatoires 1. Inégalité de Kolmogorov 2. Loi Forte des Grands Nombres 3. Théorème de Glivenko-Cantelli Chapitre 5. Convergence en loi 1. Définitions 2. Convergence en loi et convergence en probabilité 3. Propriétés de la convergence en loi 4. Convergence en loi et fonctions caractéristiques 5. Théorème central limite 6. Théorème de Cramér 7. Théorème de Lindberg-Feller

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4 4 6 10 16 19 21 21 22 23 24 26 26 27 29 32 32 32 33 34 36 36 37 40 44 44 45 46 47 48 50 53

CHAPITRE 1

Conditionnement

Dans ce chapitre,(Ω,A,P)désigne un espace probabilisé. 1. Conditionnement par un événement On se donneBun événement (i.e.B∈ A) tel queP(B)>0. Pour toutA∈ A, on pose Q B (A) = P( P B (B ∩ ) A) . Exercice 1.Montrer queQ B définit une probabilité sur(Ω,A)44 Définition 1.1.Q B est la mesure de probabilité sachant l’événementB. On la note souvent P(∙|B) Proposition 1.1.SoitXune variable aléatoire. SiXestP−intégrable i.e.E|X|:= R |X|dP<∞alorsXest aussiP(∙|B)−intégrable. De plus, on a E(X|B) de = f Z XdP(∙|B) = P 1 (B) Z B XdP= P 1 (B) E(XI B ).(1.1) E(X|B)est l’espérance deXsachant (ou conditionnelle à) l’événementB. Démonstration.Ce résultat se démontre par étapes, en commençant par une fonction in- dicatrice, ce qui permet de passer aux fonctions étagées puis aux fonctions mesurables positives, pour conclure sur les fonctions intégrables. Étape 1 :X=I A : Z I A dP(∙|B) =P(A|B) = P( P B (B ∩ ) A) 1 ) Z I B∩A dP= P 1 (B) Z B I A dP = P(B Étape 2 :X= P j∈J λ j I A j oùJest un ensemble fini et les(A j )sont des événements disjoints. On obtient la relation (1.1) grâce à la linéarité de l’intégrale et l’étape précédente. Étape 3 :Xest mesurable positive. Il existe une suite croissante de variables aléatoires(X n ) n∈N étagées positives qui converge versX. D’après l’étape 2., on a ∀n∈N Z X n dP(∙|B) = P( 1 B) Z X n dP. B On applique ensuite le théorème de Beppo Levi aux deux intégrales. Étape 4 :Xintégrable. La variable aléatoireXse décompose sous la formeX=X + −X − avec ( X X + − ( =ma m=xa x(X −X ,0 , ) )0 Les variables aléatoiresX + etX − sont positives etP−intégrable. L’étape 3 assure que 1 Z X + dP(∙|B) P(B) Z B X + dP<+∞ = 4

A. Philippe&M.-Cl. Viano : Probabilités et Z X − dP(∙|B) = P( 1 B) Z B X − dP<+∞ donc|X|=X + +X − estP(∙|B)−intégrable et on obtient (1.1).

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 Pour toute variable aléatoireX(admettons qu’elle est à valeurs dansR, mais elle pourrait aussi être à valeurs dans un autre espace) ce qui précède définit aussi la probabilité, sachantB, queXappartienne à n’importe quel borélien deR. Autrement dit on construit facilement la loi conditionnelle deXet, par le théorème de transfert, l’espérance conditionnelle se calcule aussi en utilisant cette loi : Définition 1.2.La loi deXsachant (ou conditionnelle à) l’événementBest la transportée de P(∙|B)parX. Soit, pour toutE∈ B(R) P X (E|B) =P(X −1 (E)|B)=P(X∈E|B) et on a E(X|B) = Z R xdP X (x|B). Exemple 1.1.Soit(X 1 , X 2 )un couple de variables aléatoires indépendantes et de même loi définie par P(X 1 =k) =α k (1−α)∀k∈N ˜ oùαest fixé dans]0,1[. (On noteG(α)cette loi) On pose N= ( 1 2 is nsi X on 1 ≤X 2 On va déterminer le loi deX 1 sachantN= 1. Commençons par calculer la loi de la variable aléatoireN. La loi du couple(X 1 , X 2 )étant symétrique, on a P(X 1 < X 2 ) = 1/2(1−P(X 1 =X 2 )). On en déduit P(N= 1) =P(X 1 =X 2 ) +P(X 1 < X 2 +1) 2 (= 1 P(X 1 =X 2 )) ∞ = 2 1  1 + X P(X 1 =k, X 2 =k)  1 2 =  1 + X∞ P(X 1 =k)P(X 2 =k)  k=0k=0 car les variables aléatoires sont indépendantes, ∞ P(N== 1 1) 2  1 + (1−α) 2 X α 2k  k=0 = 1 2  + (1 1 1 − − α α 2 ) 2  1 = +1α La loi conditionnelle deX 1 sachant l’événement[N= 1]est donné par N= 1, X 1 =k)P(X 2 ≥k, X 1 =k) P(X 1 =k|N= 1) = P = ( P(N= 1)P(N= 1) = (1 +α)P(X 1 =k) X P(X 2 =`) `≥k = (1 +α)α k (1−α) X (1−α)α ` `≥k = (1−α 2 )α 2k ,∀k∈N.

A. Philippe& 6M.-Cl. Viano : Probabilités ˜ La loi conditionnelle deX 1 sachant l’événement[N= 1]est une loiG(α 2 ). On en déduit que l’espérance deX 1 sachant l’événement[N= 1]est égale à ∞ E(X 1 |N= 1) = X kP(X 1 =k|N  1 = 1) = − α 2 α 2 k=0 De la même façon, on obtient la loi deX 1 sachant[N= 2] P(X 1 =k|N= 2) = (1−α 2 )α k−1 (1−α k )∀k≥1 1 2 = 2est égale à + 1− α α + 2 α et l’espérance conditionnelle deX 1 sachantN . Remarque : L’espérance deX 1 s’exprime à partir des espérances conditionnellesE(X 1 |N= 1)etE(X 1 |N= 2). En effet, on peut décomposerX 1 en X 1 =X 1 I N=1 +X 1 I N=2 et grâce à (1.1), on obtient EX 1 =E(X 1 I N=1 ) +E(X 1 I N=2 ) =P(N= 1)E(X 1 |N= 1) +P(N= 2)E(X 1 |N= 2) α = 1−α k 2. Conditionnement par une partition au plus dénombrable d’événements Dans cette partie,(B n ) n∈N désigne une partition deΩtelle queP(B n )6= 0pour toutn. On noteBla tribu engendrée par cette partitionB=σ(B n , n∈N). 2.1. Définition et propriétés de la probabilité conditionnelle.SoitAun événement. On définit la probabilité conditionnelle deAsachantBcomme étant la variable aléatoire qui prend la valeurP(A|B i )pour toutω∈B i . On la noteP(A|B). On a donc pour toutω∈Ω P(A|B)(ω) = X P(A|B n )I B n (ω)(1.2) n∈N Proposition 1.2.SoitAfixé, la variable aléatoireP(A|B)satisfait les propriétés suivantes : π 1 ] :   P(A|B)estB−mesurable B) dP=P(A∩B). [  pour toutB∈ B, on a Z P(A| B Démonstration.tant que fonction constante sur chaqueEn B i , la variable aléatoireP(A|B) est mesurable. SoitB∈ B. Il s’écrit de la formeB=∪ i∈I 0 B i et pour tout fonctionP−intégrable f, on a fdP= X Z fdP. Z i B ∈I 0 B i On obtient P= X Z B P(A|B) d i∈I 0 Z B i P(A|B) dP = i∈ X I 0 Z B i j∈ X N P(A|B j )I B j dP= i∈ X I 0 j∈ X N P(A|B j ) Z B i ∩B j dP = X P(A|B i )P(B i )carB i ∩B j =∅sij6=ietB i sinon i∈I 0 =P(A∩ ∪ i∈I 0 B i ) =P(A∩B)



A. Philippe&M.-Cl. Viano : Probabilités 7 Proposition 1.3.Àωfixé,P(∙|B)(ω)est une mesure de probabilité. Démonstration.En effet, si on fixeω∈Ωil existe un unique élément de la partition, noté,, B ω tel queω∈B ω . On a alors P(∙|B)(ω) = X P(∙|B j )I B j (ω) =P(∙|B ω ). j∈N C’est bien une probabilité. Remarque 1.1.Supposons qu’il existe des éléments de la partition ayant une probabilité nulle. On noteI={i:P(B i )6= 0}. La probabilité conditionnelle sachantBest alors définie par P(A|B)(ω) = X P(A|B n )I B n (ω)(1.3) n∈I P(A|B)est nulle sur l’ensemble S i∈Ic B i .| 2.2. Définition et propriétés de l’espérance conditionnelle. Définition 1.3.SoitXune variable aléatoire dansL 1 (Ω,A,P), l’espérance deXconditionnel- lement àBest la variable aléatoire définie par E(X|B)(ω) n = ot Z XdP(∙|B)(ω) = i∈ X N E(X|B i )I B i (ω)(1.4) pour toutω∈Ω. Remarque 1.2.Pour toutω, c’est tout simplement E(X|B)(ω) = Z XdP(∙|B ω ) =E(X|B ω ) oùB ω est l’unique élément de la partition contenantω.| Proposition 1.4.Soit(X, Y)un couple de variables aléatoires intégrables par rapport àPet (X n ) n∈N une suite de variables aléatoiresP−intégrables. Àωfixé, l’espérance conditionnelle vérifie les propriétés suivantes (1) pour tout couple(λ, µ)∈R 2 ,E(λX+µY|B)(ω) =λE(X|B)(ω) +µE(Y|B)(ω) (2) siX≤Yp.s. alorsE(X|B)(ω)≤E(Y|B)(ω). (3) si (X n ) n est une suite croissante de variables aléatoires positives intégrables telle que lim n→∞ ↑X n =Xalorslim n→∞ ↑E(X n |B)(ω) =E(X|B)(ω) Démonstration.Ces propriétés se déduisent immédiatement des propriétés de l’espérance. En effet, àωfixéE(∙|B)(ω)est égale à l’espérance par rapport à la mesure de probabilitéP(∙|B ω ) oùB ω est l’unique élément de la partition contenantω.  Proposition 1.5.SoitXune variable aléatoireP−intégrable. (1) L’applicationω7→E(X|B)(ω)satisfait [π 2 ] :    p E o ( u X r | t B o )tes tuB B ∈ −mesurable B, on a Z B E(X|B) dP= Z B XdP. En particulier en prenantB= Ω, on obtient E(E(X|B)) =E(X) i.e. les variables aléatoiresXetE(X|B)ont la même valeur moyenne. (2) SiYetXYsontP−intégrables et siXestB−mesurable alors E(XY|B) =XE(Y|B) (3) SiXest indépendante de la tribuBalorsE(X|B) =E(X)

A. Philippe&M.-Cl. Viano : Probabilités

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Démonstration. Preuve de(1).E(X|B)estB−mesurable car elle est constante sur chaqueB i . Pour toutB∈ B, on démontre l’égalité Z B E(X|B) dP= Z B XdPpar la méthode standard. Étape 1 :X=I A avecA∈ Ale résultat est immédiat car on retrouve la relation[π 1 ]. Il suffit d’écrire la définition deE(X|B)i.e.E(I A |B) =P(A|B). Étape 2 :X= P j∈J λ j I A j oùJest un sous ensemble fini. Le résultat découle de l’étape précé- dente en utilisant la linéarité de l’intégrale et de la linéarité de l’espérance condition- nelle. Étape 3 :Xexiste une suite de variables aléatoires étagées positivesest mesurable positive. Il telle quelim↑X n =X. L’étape précédente assure que pour toutn, on a Z B E(X n |B) dP= Z B X n dP. D’après (1)- (2) de la proposition 1.4,E(X n |B)est presque sûrement croissante posi- tive. On peut donc appliquer le théorème de Beppo Levi, puis la propriété (3) de la proposition 1.4 pour obtenir le résultat. Étape 4 :Xest intégrable. On décomposeX=X + −X − avecEX ± <∞. L’étape précédente assure que Z B E(X ± |B) dP= Z B X ± dP pour toutB∈ B. On peut ensuite conclure en utilisant les propriétés de linéarité. Preuve de(2).On a E(XY|B) = i∈ X I E(XY|B i )I B i = i∈ X I Z XYdP(.|B i )I B i = i∈ X I P( 1 B i ) Z B i XYdPI B i CommeXestB-mesurable doncXs’écrit de la forme P i∈I x i I B i avecI⊂N. On obtient E(XY|B) = X i∈N P 1 (B i ) Z B i XYdPI B i = i∈ X N P 1 (B i ) j∈ X N x j Z B i I B j YdPI B i or I B j ∩B i = ( 0 I B j nis sii o = n. j d’où i∈I (B i ) Z B i YdPI B i = i∈ X I x i E(Y|B i )I B i . E(XY|B) = X x i P 1 D’autre part XE(Y|B) = X x i I B i X E(Y|B j )I B j = X x i E(Y|B j )I B j ∩B i = X x i E(Y|B i )I B i i∈I j∈I i,j∈I i∈I D’où l’égalité annoncée. Preuve de(3).Xétant indépendante deB, elle est aussi indépendante des variables aléatoires I B j . On a donc E(X|B) = X P( 1 B i ) E(XI B i )I B i = i∈ X I P 1 (B i ) E(X)E(I B i )I B i =E(X) i∈ X I I B i =E(X) i∈I 

A. Philippe& 9M.-Cl. Viano : Probabilités 2.3. Conditionnement par une variable aléatoire discrète.SoitYune variable aléa- toire discrète,Y(Ω) ={y i , i∈I⊂N}. On peut appliquer les résultats précédents à la tribu engen- drée parY,i.e.la tribu engendrée par la partition constituée des événementsB i =Y −1 ({y i }), i∈ I. On noteσ(Y)cette tribu. On définit l’espérance deXsachantYpar E(X|σ(Y)) :=E(X|Y) et de même la loi deXsachantY P X (.|σ(Y)) :=P X (.|Y). En particulier, on a E(X|Y) = X E(X|Y=y i )I [Y=y i ] =g(Y). i∈N D’après[π 2 ], Z B g(Y) dP= Z B XdP pour toutB∈σ(Y). Par conséquent pour tout partieCde{y i , i∈I}, on aY −1 (C)∈σ(Y)et la relation précédente s’écrit X g(y)P(Y=y) = Z Y−1(C) XdP y∈C Exemple 1.2.Reprenons les variables aléatoires définies dans l’exemple 1.1. L’espérance deN conditionnellement àX 1 est donné par ∞ X E(N|X 1 =k)I X 1 =k . k=0 De plus, on a E(N|X 1 =k) =P(N= 1|X 1 =k) + 2P(N= 2|X 1 =k) P(X 2 ≥k X 1 =k) + 2P(X 2 < k , X 1 =k) = P(X 1 =k) =P(X 2 ≥k) + 2P(X 2 < k) = 1 +P(X 2 < k) = ( 1 1+ P j k = −1 0 (1−α)α j = 2−α k is is k k ≥1 =0 = 2−α k Ainsi, on obtient ∞ E(N|X 1 ) = X (2−α k )I X 1 =k = 2−α X 1 k=0 k 2.4. Quelques remarques.sait désormais calculer l’espérance conditionnelle par rap-On port à une tribu engendrée par une partition dénombrable ou par une variable aléatoire discrète. Il est important de remarquer que les propriétés[π 2 ]définissent l’espérance conditionnelle presque sûrement. En effet, Proposition 1.6.Si deux variables aléatoiresY 1 etY 2 vérifient les propriétés[π 2 ]alors elles sont égalesP−presque sûrement. Démonstration.On a, pour toutB∈ B, Z B (Y 1 −Y 2 ) dP= 0(1.5) PosonsB 1 ={Y 1 −Y 2 >0}etB 2 ={Y 1 −Y 2 <0}. Ces deux événements sont dans la tribuBcar Y 1 −Y 2 estB−mesurable. En appliquant (1.5) aux événementsB 1 etB 2 , on obtient qu’ils sont P−négligeables. Par conséquent, on a bienY 1 −Y 2 = 0P−presque sûrement.

A. Philippe& 10M.-Cl. Viano : Probabilités Les conséquences de ce résultat sont les suivantes. (1) Si on modifie la variable aléatoire P E(X|B i )I B i sur un ensembleB−mesurable et de probabilité nulle alors elle vérifie toujours les propriétés[π 2 ]. (2) Si l’on trouve une variable aléatoire qui vérifie les propriétés[π 2 ]alors elle est presque sûrement égale à P E(X|B i )I B i . Dans ce cas on parlera deversion de l’espérance conditionnelle.

3. Conditionnement par une tribu L’exemple suivant met en évidence la difficulté de généraliser au conditionnement par une variable aléatoire non nécessairement discrète. Exemple 1.3.Si(X, Y)est un couple de variables aléatoires indépendantes et de même loi uniforme sur[0,1]. On poseZ=X+Y. On souhaite donner un sens àP(X≤a|Z=α)et à E(X≤a|Z=α). Ici, la définition précédente n’a pas de sens, puisque les probabilitésP(X≤a , Z=α)et P(Z=α)sont toutes les deux nulles. Une possibilité pourrait être de calculerP(X≤a|Z∈[α, α+h])puis de prendresi elle existe la limite quandhtend vers zéro. On prendα <1. Soith >0tel que[α, α+h]⊂[0,1], on a P(Z∈[α, α+h]) = 1/2((α+h) 2 −α 2 ) = 1/2h 2 +αh et  ahsia < α P(X≤a, Z∈[α, α+h]) =  P(Z∈[α, α+h])−1/2(α+h−a) 2 siα≤a≤h+α  P(Z∈[α, α+h])sia > h+α d’où 2a P(X≤a|Z∈[α, α+h]) =      1 h2 − +2 h ( h h α α 2 + + h 2 −a hα ) 2 s si i α a< ≤a α ≤h+α h −− 0 → ( 1 αa i is <a a≥α α s → 1sia > h+α On reconnaît la loi uniforme sur[0, α].k Le problème principal posé par cette définition est l’existence de la limite quandhtend vers zéro. Une “meilleure” voie est d’utiliser les propriétés[π 2 ]comme définition de l’espérance condi- tionnelle et de vérifier que les propriétés obtenues dans la section précédente Définition 1.4.SoitBune tribu etXune variable aléatoire. L’espérance conditionnelle deX sachantBest la classe des variables aléatoiresE(X|B)qui vérifient[π 2 ]i.e.    p E o ( u X r | t B o )tse utB B ∈ − Ba semb o a n ru , Z le B E(X|B) dP= Z B XdP. On appelle version de l’espérance conditionnelle un élément de cette classe La suite de cette section s’organise de la façon suivante : 1) On montre queE(X|B)vérifie les propriétés obtenues dans la section précédente pour l’espé- rance conditionnelle (Section 3.1) 2) On montre l’existence deE(X|B)sous certaines hypothèses. (Section 3.2)