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Lacontinuite
Generalites Cecoursporteexclusivementsurlanotiondecontinuiterelativeauxfonc-tionsreelles.
1 L’ideegenerale Lacontinuitedunefonctionreellepeutsetraduireparlefaitquesa courberepresentativepeutˆetretraceedunseultenant,sansleverlecrayon. 2 Latheorie 2.1 Lacontinuite en un point Soitftell,efoncunereetionaR. La fonctionfestcontinueenalorsquefedstrtalleouvenunietvr einseru contenanta, et quefadmet une limite enaeg,:alae f(a) = limf(x) = limf(a+h) xa h0
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2.2 Lacontinuite sur un intervalle Soitfeer,ellteneuncfoontiIun intervalle ouvert. La fonctionfestcontinuesur l’intervalleIlorsquefest continue en tout point deI.
2.3 Lacontinuite et la derivabilite Soitfneuetreell,eofcnitnoIun intervalle ouvert. Si la fonctionfvaerellrlsuntirevibaeletsdI, alorsfest continue surI.
3 Attention! Avantdetudierlacontinuitedunefonction,ilfautabsolumentdeterminer sonensembledede nition,quelenoncelepreciseouleneglige;cedoitˆetre unreexe.
4Parcur Lesfonctionspolynoˆmes,lafonctionsinus,lafonctioncosinus,lafonction exponentielle sont continues surR. + LafonctionracinecarreeestcontinuesurR. + LafonctionlogarithmeneperienestcontinuesurR. ? Une fonction rationnelle est continue sur chacun des intervalles ou elle est de nie.
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5 Exercicespratiques 5.1 Exercice1 2 Soit la fonctionf:x7→3x+ 2x+ 1. Etudierlacontinuitedefenx= 2. Avantdesinteresseralacontinuite,ilfautsoccuperdelensemblede de nitiondelafonctionf. Ici,fesetdie nrsuR(voir le cours “Les fonc-tionsreelles-Intervallesetensembledede nition”). Lereelxoidnn tinotclefansemaleedebledppa2itradtnecnonio=f. La methodeconsistemaintenantcomparerlalimitedelafonctionfenx= 2 a la valeurf(2). 2 limf(2 +h) = 3(2 +h2(2 +) +h) + 1 h0 2 limf(2 +h) = 3(4 + 4h+h) + 2(2 +h) + 1 h0 2 limf(2 +h) = 12 + 12h+ 3h+ 4 + 2h+ 1 h0 2 limf(2 +h) = 17 + 14h+ 3h h0 limf(2 +h) = 17 h0 2 f(2) = 32 +22 + 1 = 34 + 4 + 1 = 17 Onobtientparconsequent:limf(2 +h) =f(2), ce qui revient a dire que la h0 fonctionfest continue enx= 2. fest donc une fonction continue enx= 2.
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5.2 Exercice2 2 x1 Soit la fonctionf:x7→. 2 x+ 1 Etudierlacontinuitedefenx= 1.
Avantdesinteresseralacontinuite,ilfautsoccuperdelensemblede de nitiondelafonctionf. Ici,frusein tdeesR(voir le cours “Les fonc-tionsreelles-Intervallesetensembledede nition”).
Lereelxemnsealcontdendnoitin ededelbiononctelafa1pprait=f. La methodeconsistemaintenantcomparerlalimitedelafonctionfenx= 1 a la valeurf(1). 2 (1 +h)1 limf(1 +h) = 2 (1 +h) +1 h0 2 1 + 2h+h1 limf(1 +h) = 2 1 + 2h+h+ 1 h0 2 2h+h limf(1 +h) = 2 2 + 2h+h h0 h(2 +h) limf(1 +h) = 2 2 + 2h+h h0 limf(1 +h) = 0 h0 2 11 11 0 f= =(1) == 0 2 1 +1 1+ 12 Onobtientparconsequent:limf(1 +h) =f(1), ce qui revient a dire que la h0 fonctionfest continue enx= 1.
fest donc une fonction continue enx= 1.
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5.3 Exercice3 2x+ 3 Soit la fonctionf:x7→in eruse]1;+d[. x+ 1 Determinerlafonctiong,rptioncnofaledetiunitonrcpantmegeonolfen x= 1.
Prolonger la fonctionftnnpiraoceeniutxereredinnsis=1coconstea 1 la limite de la fonctionfquandxtend vers 1. 2(1 +h) + 3 limf(1 +h) = (1 +h) + 1 h0 2 + 2h+ 3 limf(1 +h) = 1 +h+ 1 h0 5 + 2h limf(1 +h) = 2 +h h0 5 limf(1 +h) = 2 h0 Parconsequent,lafonctiongementpar,prolongtdelefaoctnniiuctonniof enx=es1,:rapedtein ( g(x) =f(x)x]1; +[ 5 g(1) = 2
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5.4 Exercice4 Soit la fonctionf]ure desni ∞; 1[parx7→2x+1, et sur ]1;[ par 1 x7→. x Raccorderparcontinuitelafonctionf.
La fonctionfetsurniesde R {1}snoi,elruleuqmadoedineedit nf est continue. Raccorderparcontinuitelafonctionfcnodetsrin edasioncf(1) de telle sorte quefsoit continue surR. Lamethodeconsisteadeterminerlalimitedefquandxtend vers 1 par va-leurssuperieures,lalimitedefquandxes,ieurvdne1sretinrserfrvpaeual etaveri erquecesdeuxlimitessontidentiques. 1 limf(x) =lim x + + x1x1 limf(x) = 1 + x1 limf(xlim 2) =x1 x1x1 limf(x) = 1 x1 Parconsequent,lafonctionfadmet enxam1l=eursvrlaetapilimeˆem superieuresqueparvaleursinferieures.Raccorderparcontinuitefenx= 1 revient donc a imposer quef(1) = 1. 1 La fonctionfniesde ur] ∞par; 1[x7→2x1, sur ]1;+[ parx7→, x et parf(1) = 1 est donc continue surR.
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