Análisis numérico II

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Colecciones : MID. Memorias de Innovación Docente, 2009 - 2010
Fecha de publicación : 2010
La memoria de innovación de 2010 resulto en la presenta monografia. Esta monografía se ciñe a la materia estudiada en la asignatura de Análisis
Numérico II del grado de Matemáticas. Debido a la ausencia de material en
Español (lo cuál ha llegado a ser motivo de queja para los alumnos) que sirva a los estudiantes de guía para el estudio, hemos considerado adecuado poner por escrito algunas ideas que les puedan servir en el futuro de la asignatura.
Los presentes apuntes se dedican al estudio de los métodos más clásicos de resolución de ecuaciones diferenciales.
Hemos dividido el trabajo en tres:
i) Un primer capítulo que les sirva de introducción a los métodos, con diferentes definiciones y ejemplos, que sirven al alumno de antesala ante lo que se avecina.
ii) El segundo capítulo está dedicado a los Métodos Runge-Kutta, especialmente a los explícitos.
iii) Por _ultimo, el capítulo tres se dedica al estudio de los métodos multipaso: Adams-Bashforth, Adams-Moulton, BDF, Stormer y Cowell.
Puesto que la asignatura tiene tanto parte teórica como práctica, en cada capítulo hay una serie de problemas que, esperemos, sirvan al alumno a comprender mejor los términos más complejos de la asignatura.m
Publicado el : viernes, 24 de agosto de 2012
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Fuente : Gredos de la universidad de salamenca
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Número de páginas: 79
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Introducci´on:
Estamonograf´ıaseci˜nealamateriaestudiadaenlaasignaturadeAn´alisis Num´ricoIIdelgradodeMatema´ticas.Debidoalaausenciadematerialen e espa˜nol(locu´alhallegadoasermotivodequejaparalosalumnos)quesirva alosestudiantesdeguı´aparaelestudio,hemosconsideradoadecuadoponer por escrito algunas ideas que les puedan servir en el futuro de la asignatura. Lospresentesapuntessededicanalestudiodelosme´todosma´scl´asicos deresoluci´ondeecuacionesdiferenciales. Hemos dividido el trabajo en tres: i)Unprimercapı´tuloquelessirvadeintroducci´onalosm´etodos,con diferentes definiciones y ejemplos, que sirven al alumno de antesala ante lo que se avecina. ii)Elsegundocap´ıtuloesta´dedicadoalosMe´todosRunge-Kutta,espe-cialmente a los expl´ıcitos. iii)Po´ultimo,elcapı´tulotressededicaalestudiodelosme´todosmul-r tipaso: Adams-Bashforth, Adams-Moulton, BDF, Stormer y Cowell. Puestoquelaasignaturatienetantoparteteo´ricacomopr´actica,enca-da capıtulo hay una serie de problemas que, esperemos, sirvan al alumno a ´ comprendermejorloste´rminosma´scomplejosdelaasignatura. Firmado: Jesus Vigo Aguiar y resto de miembros del equipo
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Cap´ıtulo
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Introducci´ona nume´ricos
1.1.
los
m´etodos
M´etodosnum´ericos:deniciones,nomen-clatura y ejemplos
En otras asignaturas hemos obtenido una serie de herramientas para obtenersolucionesanalı´ticasendiferentesclasesdeecuacionesdiferenciales. Desgraciadamentehayungrann´umerodeecuacionesdiferencialesnore-solublesporningunodeestosme´todos.Enloscapı´tulosqueproponemosa continuaci´onseestudiar´andiferentesme´todosnum´ericosqueaproximanla curvacuyacondicio´ninicialyderivadasonlosdatosdadosporelproblema devalorinicial.Estoes,selograunatabladen´umeroscondoscoordenadas (xi,yi), dondeyiy(xi). Losme´todosnume´ricospuedentenermuchasforma,aqu´ısepropondr´an algunosdelosme´todosRunge-Kuttaymultipasom´asconocidos. El problema standard que procuraremos resolver es y0(t) =f(t, y(t)), y(t0) =y0,(1.1.1) dondey= (y1, . . . , ym),f= (f1, . . . , fm) ey0= (y01, . . . , y0m), son vectores dedimensio´nm,mientrasquetyt0son escalares. So´loconsideraremoselproblema(1.1.1)cuyasoluci´onexistaysea´unica. Por ejemplo cuandof:R×RmRmsea continua(x, y)D, donde D={(t0, tf)×Rm}, y de forma que exista una constante finita L, tal
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que kf(x, y)f(x, y)k≤Lkyyk(1.1.2) para cualquier(x, y),(x, y),sieeosasstp´hiesoted.DuCpmile´dn diversosresultadosquenoseestudiar´anenestemanual,nosd´ aran garantı´asdequeexistasolucio´n´unicadenuestroproblema,yde quey(t)sea continua y diferenciable en D. Habr´avecesenlasqueestashi´tesisnoseveriquen,enesoscasos po ellectorhabra´detenercuidado,yaquelosm´etodosqueseestudiara´na conti-nuacio´nsonbastantegenerales,ypuedequenosirvanparaelcaso especı´co.Acontinuacio´nsedanejemplosmuybreves,quemuestrancomo antesdeintentarresolverelproblema,esprecisoestudiarlacasuı´sticadel mismo, de esta forma se evitar´ l perdida de tiempo y de esfuerzos. a a Ejemplo 1: consideremos y0(x) =p|y|, y(3) = 0.(1.1.3)
Aquı´nosecumplenlascondiciones,elresultadoesqueexisteninnitassolu-ciones,porejemplosonv´alidastodaslasqueseandeltipo c1)2 y(x) =((0xs4ix >sic1xc13 Ejemplo 2: sea nuestro problema y0(x) = 1 +y2, y(0) = 1,conx[0,4π].(1.1.4)
Enestecasonoexistedichaconstante,raz´onporlaquelasoluci´ondelproble-may(t) = tan(x+4πn´astoe)naeadotacπ4, donde presenta una singularidad. Ejemplo 3: supongamos que nuestro problema es ahora y0(x) =λ(yE(x)) +E0(x), y(0) = 10.(1.1.5) DondeE(x) = 10(10x)exyλ=2000, por ejemplo. En este caso s´ı se verifican las condiciones pedidas, pero el hecho de que la constanteLipschitzianaseatanaltahacequelosme´todosnum´ericostengan problemas. Este ejemplo, considerado de la familia de los Prothero-Robinson es tıpico ´ entre los problemas stiff que veremos mas adelante. ´
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Todoslosme´todosqueseproponenaquı´partendelaideadeladis-cretizaci´ondelcontinuo[t0, tfo´iculosnndes]docalaebusy(t) del problema (1.1.1). Consideramos un conjunto de puntost0< t1 < t . .< .f, y llamaremos longituddepasoenlaiteraci´onnahn=tntn1. Deestaformaunme´todonume´ricoesunaecuacio´nendiferenciasquenos permite obtener de forma recursiva una serie de aproximacionesyndey(xn), utilizando valores obtenidos anteriormenteyn1, . . . , ynky evaluaciones de lafunci´onf(t, y(t)). Laprimeragranfamiliademe´todosqueseproponensonlosRunge-Kutta. Un Runge-Kutta de s pasos se escribe de forma general como
s yn+1=yn+hXbiki i=1
(1.1.6)
donde s ki=f(xn+cih, yn+Xaijki) j=1 Mientrasquellamaremosm´etodosmultipasoaaquellosm´etodosdeinte-graci´onnume´ricaquesepuedenescribircomo
α0yn+α1yn1+...+αkynk=h(β0fn+β1fn1+...+βkfnk) (1.1.7) dondek >´lsdsoo,odetse1terounenuedejoqnlu´neeedapemor e m fi=f(xi, yi), y lasαi, βison constantes que no dependen de n;, ynes el valor quesequierecalcularencadaiteracio´n,mientrasquelosyni, con 0< ison valores que se han obtenido previamente.
1.2. Consistencia
Siconsideramosqueelme´todoseobtienedelaf´ormulageneral
α0yn+α1yn1+...+αkynk=f(yn, . . . , ynk, xn;h),(1.2.1) dondeφfdenota queφdepende deyedse´vartaf, y definimos el residuo como k Rn:=Xαjy(xnj)f(yn, . . . , ynk, xn;h) j=0
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(1.2.2)
esf´acilobservarqueparaqueunme´todoseava´lidoparaencontraruna solucio´napropiadaanuestroproblema,necesitaremosnoso´loque
hıl´m0Rn= 0,
(1.2.3)
tambien sera preciso que ´ ´ lh´ım0hRn= 0.(1.2.4) Siestosucedesedicequeelm´etodoesconsistenteatseedselltadeasm´raPa. y otras futuras definiciones, un interesante libro es el de Lambert ([Lam91]).
1.3. Estabilidad
Supongamosqueseanuestroobjetivoencontrarunasoluci´onnume´ricadel problema (1.1.1), y supongamos ahora que perturbamos levemente tanto la funci´on(conδ(t)), como el valor inicial (enδ), siendo ahora nuestro problema z0(t) =f(t, z(t)) +δ(t), z(t0) =z0+δ,(1.3.1) Entonces, se dice que el problema de valor inicial (1.1.1) estotalmente estable, si dadas dos perturbaciones (δ(t), δ) y (δ(t), δ(t)) de (1.1.1) y siendoz(t) yz(t)las soluciones de los problemas problemas perturbados, existe una constante S tal quet[t0, tf] kz(t)z(t)k≤
siempre que
kδ(t)δ(t)k≤εykδδk≤ε.
(1.3.2)
Aunqueestadenici´onesmuyclara,esprecisosermuycuidadosocon lamisma,yaque,porejemplo,ası´lafuncio´nexponencialesestable.Sin embargo,m´asadelanteveremosqueestenoesundetallenadatrivial,pues pocosm´etodosintegrannume´ricamentebiendichafuncio´n. Sucedequealgunosme´todosnum´ericosaplicadosaalgunosproblemas devalorinicial,introducenerroresquedeterioranlasolucio´ndelproblema, pudiendo suceder que ante determinadas longitudes de paso, las soluciones oscilendegranmanerallegandoadivergirlassoluciones,locualnoserı´a aceptable en absoluto.
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