chap 1 cours

Arsène Alexandre

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²*²‡²‡²*²²²·*Maths TS-Cours-Suites Chapitre 1 : Suites A ) Cours I) Raisonnement par récurrence : 1) Propriété : Le principe de récurrence est : Soit P n une propriété dépendant d’un naturel n . ( ) On suppose : qu’il existe un naturel n tel que P(n ) soit vraie 00 et que, pour tout naturel n tel que n n (P(n) est vraie implique que P (n+1) ,0est vraie) ; alors, on a montré par récurrence que, pour tout naturel n tel que n n , P (n) est 0vraie. 2) Exemple : k=n3 3 3 3Soit S =1 et pour tout n de ℕ S = k =1 + 2 + ... + n ; montrer que 1 n ∑k=12 2k=n n (n +1) 3pour tout n de ℕ S = k = noté P . n ∑ n4k=1 Preuve : 21 23* Initialisation :1 =1 = , donc P est vraie 14* La propriété est héréditaire: montrons que, pour tout n de ℕ ; (Si P est vraie alors P est vraie). n n+1Preuve : Soit n un naturel non nul quelconque. 2 2k=n n (n +1)3On suppose que S = k = ; n ∑4k=1(n +1)( n +2)on veut montrer que S = . n+142 2 k=n+1 k=nk=n n (n +1)3 3 3 3S = k = ; or k = k + (n +1) , ∑ ∑n ∑4 k=1 k=1k=12 2n (n +1) (n +1)( n +4( n +1))3donc S = + (n +1) = , n+14 4(n +1)( n +2)donc S = . n+14www.ecolesurweb.fr Robert de Guerny 1/17 ---*£²£²-˛‡-£˛*Maths TS-Cours-Suites *D’après l’initialisation et l’hérédité, on a montré par récurrence que : k=n n( n +1)3pour tout n de ℕ S = k = . n ∑4k=1 II) Suites (généralités) 1) Définition : Une suite u est une fonction définie sur ...

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 Chapitre 1 : Suites   A ) Cours   I) Raisonnement par récurrence :   1) Propriété : Le principe de récurrence est :    Soit n !   une propriété dépendant d’un naturel   n . On suppose : qu’il existe un naturel n 0 tel que P(n 0 ) soit vraie et que, pour tout naturel n tel que n ³ n 0 ,  ( P(n) est vraie implique que P (n+ 1 )   est vraie) ; alors, on a montré par récurrence que, pour tout naturel n tel que n ³ n 0 , P (n) est vraie.   2) Exemple : k 1 n Soit S 1 1  et pour tout n de ℕ    S n ∑ k 3 1 1 3 # 2 3 # ... # n 3 ; montrer que k 1 1 1 2 # 2 pour tout n de ℕ         S n 1 k k ∑ n k 3 1 n ( n 4 1) noté  n . 1 1     Preuve :   2   * Initialisation :1 3 1 1 1 1 4 2²  , donc  1 est vraie * La propriété est héréditaire: montrons que, pour tout n de ℕ ; (Si n est vraie alors n 1 est vraie). Preuve : Soit n un naturel non nul quelconque. On suppose que S n 1 k k ∑ 1 1 n 1 k 3 1 n 2 ( n 4 # 1) 2 ; on veut mon S n # 1 ( n 1)² 4 ( n # 2)² . trer que 1 k 1 n # 1 k 1 n S n 1 k ∑ 1 n 1 k 3 1 n 2 ( n 4 # 1) 2 ; or 1 ∑ k 3 1 ∑ k 3 # ( n # 1) 3 , k 1 k 1 k 1 # n n ² # 4( n # 1)) donc S # 1 n 2 ( n 4 1) 2 # ( n # 1) 3 1 ( 1)²( n 4  ,  donc S n # 1 1 ( n 1)² 4 ( n # 2)²  . 

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  *D’après l’initialisation et l’hérédité, on a montré par récurrence que : 1 pour tout n de ℕ    S n 1 k n k 3 1 n ²( n 1)² .  k 1 1 4     II) Suites (généralités)     1) Définition :   Une   suite u est une fonction définie sur une partie I de ℕ telle qu’à tout n de I, on associe le réel u n   . On note la suite u  ou (u n ) n I  ou (u n ) ; u n   est le terme de rang n.     Exemple 1 :   u n n 2 % 2 n # 3 ( n ℕ ) ; on a ainsi : u 0 3 , u 1 2 , u 2 3 , u 3 6 .   Exemple 2 :   u 1 0  et pour tout n de ℕ   u n # 1 % 2 u n # 3 ; on a ainsi : u 1 0 , u 2 3 , u 3 % 3 , u 4 9 .   2) Remarques :   Pour u 0 , u 1 ,..., u n , il y a n+1 termes Pour u 1 , u 2 ,..., u n , il y a n termes Pour u a , u a # 1 ,..., u n , il y a n a # 1 ! termes.   III) Suites bornées ; suites périodiques   1)a) Définitions   Soit une suite ( u n ) définie sur ℕ   ( u n ) est majorée signifie qu’il existe un réel M tel que, pour tout n de ℕ , u n M. ( u n ) est minorée signifie qu’il existe un réel m tel que, pour tout n de ℕ , u n ³ m. ( u n ) est bornée signifie que ( u n ) est majorée et minorée.   b) Exemple1 :   Si pour tout n de ℕ    u n 1 sin( n ) , alors , pour tout n de ℕ , 1 σ sin( n ) σ 1 ; donc ( u n ) est bornée.  

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c) Exemple 2 :   Si pour tout n de ℕ    u n n 2 % 1 , alors (u n ) est minorée par –1 :   Sur ℕ , n 2 ³ 0 , donc n 2 1 ³ % 1 , donc , pour tout n de ℕ , u n ³ % 1 .         2) a) Définition   soit ( u n ) une suite définie sur ℕ   ( u n ) est périodique signifie qu’il existe un naturel non nul p tel que, pour tout n   de ℕ , u n # p u n .   b) Exemple La suite ( u n ), définie sur ℕ , par u n 1 cos( 3 n ) , est périodique, de période 6, car : pour tout n de ℕ , n 6 Î ℕ , et n   u n # 6 1 cos( ( n 3 6) ) 1 cos( 3 n # 2 ) ) cos( ) 1 u . 3 n      IV) Sens de variation     1) Définitions   Soit une suite u n définie sur ℕ   ( u n ) est croissante signifie que, pour tout naturel n , u n+1 ³ u n . ( u n ) est décroissante signifie que, pour tout naturel n, u n+1 u n . ( u n ) est strictement croissante signifie que, pour tout naturel n, u n+1 >u n .   ( u n ) est strictement décroissante signifie que, pour tout naturel n, u n+1 <u n . ( u n ) est stationnaire (ou constante) signifie que, pour tout naturel n, u n+1= u n . (u n ) est monotone sur ℕ signifie que, (u n ) est croissante sur ℕ ou décroissante sur ℕ ou stationnaire sur ℕ . ( u n ) est strictement monotone sur ℕ signifie que, ( u n ) est strictement croissante sur ℕ ou strictement décroissante sur ℕ . Remarques : * La suite u n peut être définie sur une partie de ℕ (par exemple ℕ ). * La suite u n est (par exemple) décroissante à partir d’un certain rang signifie qu’il existe un naturel n 0 tel que, pour tout n ³ n 0 , u n+1 u n .

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    2) a) Exemple 1   tout n de ℕ , n 1  ; alrs Si, pour u n 1 k 1 1 k o ( u n ) est croissante :   , Pour tout n de ℕ , u n # 1 % u n 1   k n ∑ 1 k 1 # n 1 1   % k n ∑ 1 k 1 1 n 1 # 1 1 1 1 or n ≻ 0 , donc n 1 ≻ 1 , donc  1 ≻ 0 , n donc , pour tout n de N*, u n # 1 % u n ≻ 0 , donc ( u n ) n Î ℕ croît strictement.       b) Exemple 2   Si , pour tout n de ℕ , u n ( % 1) n   , alors ( u n ) n’est pas monotone : En effet, pour tout k de ℕ , u 2 k 1  et u 2 k # 1 % 1 , donc Il existe k de ℕ tel que, u 2 k # 1 ≺ u 2 k  et u 2 k 2 ≻ u 2 k # 1 . Cqfd     V) Suites arithmétiques; suites géométriques   1) Suites arithmétiques   a) Définition   Soit une suite ( u n ) définie sur I, ensemble des naturels supérieurs ou égaux à un naturel a , soit r un réel. La suite (u n ) est arithmétique de raison r signifie que, pour tout   n ³ a , u n # 1 u n # r ;( ce qui équivaut à, pour tout  n ³ a , u n # 1 u n 1 r ).   b) Propriétés Soient   a   un naturel et r un réel. Si la suite ( u n ) est arithmétique de raison r et de premier terme u a , alors, pour tout naturel n tel que n ³ a : u n u a # ( n % a ) r  ; k n 1 ∑ a u k 1 ( n a # 1 2 )( u a # u n ) Cas particuliers :

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n n u u Pour tout n ℕ : u n u 0 # nr ; ∑ 1 0 u k 1 (1)( 2 0 # n ) k n ( 1 n ) Pour tout n ℕ : u n u 1 # ( n 1) r  ; ∑ u k 1 n u u   % k 1 1 2                                      n ∑ k # # # n 1 n ( n 1) k 1 1 1 1 2 ...  2   c) Propriétés Soient   a   un naturel et r un réel. Soit ( u n ) la suite arithmétique de raison r et de premier terme u a : si r ≻ 0 alors la suite u n n ³ a est strictement croissante. si r ≺ 0 alors la suite u n n ³ a est strictement décroissante. si r 0 alors la suite u n n ³ a est stationnaire ( on dit aussi constante).   Remarque : On utilise le fait que, pour tout  n ³ a , u n # 1 u n 1 r .     2) Suites géométriques a) Définition Soit une suite ( u n ) définie sur I, ensemble des naturels supérieurs ou égaux à un naturel a , soit q un réel. (u n ) est géométrique de raison q signifie que, pour tout n ³ a , u n # 1 qu n .   b) Propriétés Soient   a   un naturel et q un réel.   Si la suite ( u n ) est géométrique de raison q et de premier terme u a , alors, pour tout naturel n tel que n ³ a :        1 u n q n % a u a ∑ n u k 1 u a 1 % q n a # 1 si q 1   % k 1 a 1 q n ∑ u k 1 u a # ... # u a 1 ( n % a # 1) u a  si q 1 [il y a n a # 1 ! termes égaux à u a ]. k 1 a Cas particuliers : * Pour tout n ℕ : 1 n % n 1   ∑ n 1 0 1 % q n   Si q 1 : k 1 ∑ 0 q k 1 1 # q # q 2 # ... # q n 1 1 1 q q ; k 1 0 u k u 1 q n n Si q 1 : ∑ q k 1 # ... # 1 1 n # 1 ; ∑ u k 1 u 0 # ... # u 0 1 ( n # 1) u 0  . k 1 0 k 1 0

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[il y a n 1 ! termes égaux à 1] ; [il y a n 1 ! termes égaux à u 0 ]     * Pour tout n ℕ : 1 Si q 1 : k n ∑ 1 % 1 0 q k 1 1 # q # ... # q n % 1 1 1 1 q q n ; k ∑ n 1 u k u 1 1 1 q q n   1 n n Si q 1 : ∑ q k 1 # ... # 1 1 n  ; ∑ u k 1 u 1 # ... # u 1 1 nu 1  . k 1 1 k 1 1 [il y a n termes égaux à 1] ; [il y a n termes égaux à u 1 ]   c) Propriétés q étant un réel non nul ; soit ( u n ) la suite définie sur ℕ par u n q n :  si 0 ≺ q ≺ 1alors la suite u n n ℕ est strictement décroissante. u est ent croissante.  si q ≻ 1alors la suite n n ℕ  strictem  si q 1alors la suite u n n ℕ est stationnaire (on dit aussi constante).   Remarque : Soit ( u n ) la suite définie sur ℕ par u n 0 n 1 0 , alors la suite u n Î ℕ est stationnaire.   n     3) a) Exemple 1   Soit ( u n ) la suite arithmétique de raison (-2) et telle que u 1 3 . Calculer u 100 , n et, pour tout n ℕ , calculer u n et n 1 u k en fonction de n . k 1 1   . Preuve : Par hypothèse, u 100 1 u 1 # 99 r 1 3 # 99 % 2 1 3 % 198 1 % 195 Pour tout n ℕ : u n u 1 # ( n % 1) r 1 3 # ( n % 1)( % 2) 1 % 2 n # 5   S n 1 n ( u 1 2 u n ) n (3 ( % 2 2 n # 5)) 1 n (2 2 n # 8) n ( % n # 4) .   b) Exemple 2   Soit ( u n ) la suite géométrique de raison (-2) et telle que u 2 3 . Calculer u 100 , n et, pour tout n Î ℕ ∀ \ 1 , calculer u n et n 1 u k en fonction de n . k 1 2 Preuve : Par hypothèse, u 100 3 ´ ( % 2) 100 % 2 1 3 ´ 2 98 .

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Pour tout n Î ℕ ∀ \ 1 : u n 1 u 2 q n 2 1 3 ´ ( % 2) n % 2   s n 1 u 2 # u 3 # ... # u n 1 u 2 (1 # q # ... # q n % 2 ) , donc n % % % 1 1 % q n 1 3 1(2) 1 1 ( 2) 1 . n 1 1 % % s n u 2 1 q 1 % ( % 2)   VI) Limites et suites (début) :   1)a) Définition   Soit L un réel, la suite ( u n ) converge vers L signifie que tout intervalle ouvert contenant L contient tous les termes de ( u n ) à partir d’un certain rang. Cela signifie que, pour tout intervalle ouvert I contenant L , il existe un naturel n 0   tel que, pour tout n ³ n 0 , u n I. on note lim u n L (cette notation sera justifiée avec la propriété 2) n |#υ   b) Exemples   lim 1 0 ; pour tout  p ℕ , lim  1  0 ; lim (2  4  ) 1 2 . n |#υ n n |#υ n p n |#υ n   2) a) Propriété 1   1 lim u n 0 Û lim u n 0   n |#υ n |#υ lim u n L   Û  lim ( u n % L ) 1 0  ( L étant un réel) n |#υ n |#υ   b) Propriété 2 (unicité de la limite)   Si ( u n ) converge vers un réel L alors L est unique.   Preuve de la propriété 2 (par l’absurde) Supposons que ( u n ) converge vers deux réels et ' . Prenons de plus ≺ L ' (sinon raisonnement analogue pour ≻ L ' ) Posons : r 1 2 L ' , ] L % r ; L # r [ , ] L ' % r ; L ' # r [     ( r ≻ 0)   ( u n ) converge vers L donc il existe n 0 de ℕ tel que, pour tout n ³ n 0 , u n I.   ( u n ) converge vers L’ donc il existe n 1 de ℕ tel que, pour tout n ³ n 1 , u n J. En prenant n 2 1 max( n 0 ; n 1 ) , si n ³ n 2 alors u n I Ç J ; or I J 1 Æ ; ce qui est impossible ; donc , on a montré par l’absurde que ³ L ' ; on a de même L ' ; ainsi L ' .

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  c) Propriété 3   Soient un naturel n 0 et deux réels L et L’ : Si pour tout n ³ n 0 , u n ³ 0 et si ( u n ) converge vers L alors L ³ 0 Si pour tout n ³ n 0 , u n v n et si ( u n ) et ( v n ) convergent respectivement vers L et vers L ' alors L L’ .   d) Remarque :   Si pour tout n de ℕ    2 ≺ u n ≺ 3  et si ( u n ) est une suite convergente vers un réel L ; alors 2 L σ 3 .   3) Limite infinie (en + )   a) Définitions :   La suite ( u n ) tend vers υ   en   # υ  signifie que tout intervalle ]A ; + [ (A ℝ ) contient tous les termes de la suite (u n ) à partir d’un certain rang . Cela signifie que, pour tout intervalle ]A ;+ [ (A ℝ ),il existe un naturel n 0 tel que , pour tout n ³ n 0 , u n  ]A ;+ [ . On note lim u n #υ   n |#υ La suite (u n ) tend vers υ   en   # υ signifie que tout intervalle ]- ;A[ (A ℝ ) contient tous les termes de la suite ( u n ) à partir d’un rang n 0 . On note lim u %υ . n n |#υ   b) Exemples   lim n #υ ; pour tout   p ℕ , lim n p #υ  ; lim ( 3 n 2 ) 1 %υ . n |#υ n |#υ n |#υ   c) Remarque :   lim u %υ  lim ( % u ) 1 #υ . n n n |#υ n |#υ   4) a) Définitions   Une suite convergente est une suite ayant une limite finie. Une suite divergente est une suite non convergente (sa limite est + ou υ ou cette suite n’a pas de limite).   b) Exemple :  

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La suite ( u n ) définie sur ℕ par u n ( % 1) n  est divergente. Preuve : Si ( u n ) convergeait alors elle aurait deux limites 1 et –1 ; ce qui est impossible (unicité de la limite) A savoir : sin( n ) n’a pas de limite en υ ; de même pour cos( n ) .   5) Critères de comparaison      a) Propriétés 4 :   Soient un naturel n 0 et un réel L   Critère 1 : Si, pour tout n ³ n 0 , u n L σ v n  et si lim v n 0 alors lim u n L . n |#υ n |#υ Critère 2 :  et si lim v #υ  alors lim u #υ   Si, pour tout n ³ n 0 , u n ³ v n   n n n |#υ n |#υ Critère 3 : Si, pour tout n ³ n 0 , u n v n et si lim v n %υ alors lim u n %υ   n |#υ n |#υ   b) Exemple 1 :   On suppose que, pour tout n ℕ , u n 1 sin( n ) . Montrer que la suite u n a une n limite (finie ou infinie) et déterminer cette limite. Preuve : Soit n  un naturel non nul sin On a sin( n ) 1 , or n ≻ 0 , donc  ( n ) 1  ; n n donc, pour tout n de ℕ  ,  sin( n ) 1  ; n n de plus,  lim( 1 )0,  n |#υ n donc, d’après un critère de comparaison (C1), li (  sin( n ) )0 m . n |#υ n   c) Exemple 2 :   On suppose que, pour tout n ℕ , u n 4 n # cos n . Montrer que la suite u n a une limite (finie ou infinie) et déterminer cette limite.  

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Preuve : Soit n un naturel : On a : 1 σ cos( n ) σ 1, donc 4 n 1 σ 4 n # cos( n ) σ 4 n # 1,donc pour tout naturel n , 4 n 1 σ 4 n # cos( n ) , de plus lim (4 n 1) 1 #υ ; n |#υ donc, d’après un critère de comparaison (C2), lim (4 n cos( n )) 1 #υ . n |#υ     6) Théorème des gendarmes     a) Propriété 5(« théorème des gendarmes »)   Soient un naturel n 0 et un réel L    Si pour tout n ³ n 0 , v n u n σ w n  et si les suites ( v n ) et ( w n ) convergent vers le même réel L ,alors la suite ( u n ) est convergente et sa limite est L .   Preuve : Soit un intervalle ouvert I quelconque contenant L : lim v L , donc il existe un naturel   n 1   tel que, pour tout n ³ n 1 , v n I . n n |#υ lim w n L , donc il existe un naturel n 2 tel que, pour tout n ³ n 2   , w n I . n |#υ or pour tout n ³ n 0 , v n u n σ w n     posons : n ' 1 max( n 0 , n 1 , n 2 )   ainsi il existe un naturel n’ tel que si n ³ n ' alors u n I ; et cela pour tout intervalle ouvert contenant L . On en déduit que la suite ( u n ) est convergente et sa limite est L .   b) Exemple :   On suppose que, pour tout n ℕ , u n 1 2 n % 5cos( n 2 ) . Montrer que la suite  n u n a une limite(finie ou infinie) et déterminer cette limite.     Preuve : Soit n ℕ : On a 1 σ cos( n 2 ) σ 1 donc 5 σ % 5cos( n 2 ) σ 5 , donc 2 n 5 σ 2 n % 5cos( n 2 ) σ 2 n # 5 , or n ≻ 0 ,

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