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225Annexe BStabilité des systèmes dynamiquesSommaireB.1 Stabilité d’un point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225B.2 Stabilité des solutions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226B.2.1 La matrice de Monodromie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226B.2.2 La section de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227B.2.3 Calcul pratique de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229Dans cette annexe, nous allons aborder l’étude de systèmes d’Equations Différentielles Ordinaires (EDO)1 nautonomes du premier ordre, dit flot, défini dansR et représenté formellement par:∂x=F(x,α) (B.1)∂tn n navec x∈R , t∈R, F :R ×C→R où α∈C est un paramètre d’étude.B.1 Stabilité d’un point fixeDans cette section, nous allons étudier la stabilité des points fixes du flot (B.1). Les points fixes sont∂xreprésentés dans l’espace des phases comme les solutions des états d’équilibre = 0 i.e. les solutions du∂tproblème F(x,α) =0.Le problème qui se pose alors est de savoir si ces points fixes sont temporellement stables. La théorie del’algèbre linéaire permet de répondre à cette question, en considérant la stabilité des points fixes vis à vis deperturbations infinitésimales.∗Supposons que le flot (B.1) présente un point fixe en x = x . On peut alors linéariser le système (B.1)∗autour de cet état d’équilibre. En posant y =x−x , ce système s’écrit:∂y∗=L(x ,α)y (B.2)∂t∗ ...

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Extrait

Annexe B

Stabilité des systèmes dynamiques

Sommaire B.1 Stabilitéd’un point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225 B.2 Stabilitédes solutions périodiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226 B.2.1 Lamatrice de Monodromie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226 B.2.2 Lasection de Poincaré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .227 B.2.3 Calculpratique de stabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229

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Dans cette annexe, nous allons aborder l’étude de systèmes d’Equations Différentielles Ordinaires (EDO) 1n autonomes dupremier ordre, ditflot, défini dansRet représenté formellement par: ∂x =F(x, α)(B.1) ∂t n nn avecx∈R,t∈R,F:R×C→Roùα∈Cest un paramètre d’étude.

B.1 Stabilitéd’un point fixe Dans cette section, nous allons étudier la stabilité des points fixes du flot (B.1). Les points fixes sont ∂x représentés dans l’espace des phases comme les solutions des états d’équilibre=0i.e.les solutions du ∂t problèmeF(x, α) =0. Le problème qui se pose alors est de savoir si ces points fixes sont temporellement stables. La théorie de l’algèbre linéaire permet de répondre à cette question, en considérant la stabilité des points fixes vis à vis de perturbations infinitésimales. ∗ Supposons que le flot (B.1) présente un point fixe enx=x. On peut alors linéariser le système (B.1) ∗ autour de cet état d’équilibre. En posanty=x−x:, ce système s’écrit

∂y ∗ =L(x, α)y(B.2) ∂t ∗ ∗ oùL(x, α)est la matrice Jacobienne deFau pointx=x. Les solutions du système linéaire (B.2) st à coefficients constants se présentent sous forme d’exponentiellese. La résolution de ce problème est alors équivalente à la résolution du problème aux valeurs propres suivant:

∗ L(x, α)y=sy.

1. Un système autonome ne dépend pas explicitement du temps.

(B.3)

226

∂y∂x ∗ ∗ Théorème 7Considérons=L(x, α)yle système linéarisé autour du point d’équilibrexdu flot= ∂t ∂t ∗ F(x,α). Soientλ i , i= 1. . . n, les valeurs propres de l’opérateur linéaireL(x, α), alors ∗ – sipour touti∈[1;n],Re(λ i )≤0le point fixexest stable. ∗ – siil existek∈[1;n]tel queRe(λ k )>0, le point fixexest instable.

B.2 Stabilitédes solutions périodiques Dans cette section, nous nous intéressons aux solutionsTpériodiques du flot (B.1)i.e.aux fonctionsx(t) telles que: ∀t∈R,x(t+T) =x(t), dont on cherchera à étudier la stabilité et les éventuels mécanismes à l’origine de leur perte. n n Par la suite, on convient de noterϕ(t,x 0 )avecϕ:R×R→R, les trajectoires solutions du système d’équations différentielles (B.1) muni de la condition initialex(0) =x 0 . Les sections suivantes présentent de manière succincte les deux principales méthodes permettant d’étudier la stabilité linéaire d’une solution périodique du flot (B.1): la matrice de Monodromie (§ B.2.1) et la section de Poincaré (§ B.2.2).

Enfin, pour des raisons de facilité de lecture, la dépendance dexenαest provisoirement omise.

B.2.1 Lamatrice de Monodromie Le concept de l’approche par la matrice de Monodromie est d’étudier l’influence d’une perturbation des ∗ conditions initiales sur l’évolution temporelle des solutions du flot (B.1). Pour cela, on considèrex(t)une ∗ solution périodique particulière du flot (B.1): la stabilité dex(t)est évaluée par la détermination, après une ∗ période, de l’écart entre la trajectoire de la solution périodiquex(t)et de la trajectoire issue d’une légère perturbation de la condition initiale. Cette approche est détaillée dans Seydel (1988).

∗ ∗∗ Soientϕ(t,x)la trajectoire de la solution périodiquex(t)correspondant à la condition initialex(0) = 0 ∗ ∗∗ xetϕ(t,x+δx 0 )la trajectoire de la solution ayant pour condition initialex+δx 0 , l’évolution temporelle 0 00 de l’écart des trajectoires est donnée par: ∗ ∗ δx(t) =ϕ(t,x+δx 0 )−ϕ(t,x). 0 0 En particulier, après une période on a: ∗ ∗ δx(T) =ϕ(T ,x+δx 0 )−ϕ(T ,x). 0 0 ∗ En effectuant un développement en série de Taylor autour dex, on aboutit au premier ordre à: 0 ∗ ∂ϕ(T ,x) 0 δx(T) =δx 0 . ∂x 0 On constate que l’écart entre les deux trajectoires àt=Test lié à l’écart initialδx 0 par la matrice  1 1  ∂ϕ ∂ϕ 1 ∙ ∙ ∙ n ∂x ∂x 0 0 ∗ ∂ϕ(T ,x)   0 =(B.4)  ..  ∂x 0 n n ∂ϕ ∂ϕ 1 ∙ ∙ ∙ n ∂x ∂x 0 0 i i ème oùϕetx(i= 1,∙ ∙ ∙,n) représentent respectivement laicomposante deϕet dex 0 . 0 Il est facile d’imaginer que les propriétés de la matrice (B.4), appeléeMatrice de Monodromie, décideront de la stabilité du système (B.1) par l’intermédiaire de la croissance ou de l’amortissement de la perturbation initiale.

B.2 Stabilité des solutions périodiques

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Puisqueϕ(t,x 0 )représente la trajectoire de la solution de (B.1) ayantx 0 pour condition initiale,ϕ(t,x 0 ) vérifie également ce système, soit: ∂ϕ(t,x 0 ) =F(ϕ(t,x 0 ), α). ∂ t Différencier cette équation par rapport à la condition initialex 0 :donne alors ∂ ∂ϕ(t,x 0 )∂F(ϕ, α)∂ϕ(t,x 0 ) =. ∂ t∂x 0 ∂ϕ∂x 0 En remarquant ensuite que la conditionϕ(0,x 0 ) =x 0 conduit à ∂ϕ(0,x 0 ) = 1I, ∂x 0 on met en évidence que la matrice de monodromie est identique àΦ(T), oùΦ(t)vérifie : ∗ ∂Φ∂F(x, α) = Φ,Φ(0) = 1I. ∂ t∂x n n∗ ∗ La matrice de monodromieM ∈R×Rassociée à la solutionTpériodiquexde valeurs initialesx 0 est définie par: ∗ ∂ϕ(T ,x) 0 M ≡Φ(T) =. ∂x 0 Enfin, on montre (Seydel, 1988) que la matrice de monodromie possède deux propriétés remarquables: k –∀k∈N,Φ(kT) =M – lamatrice de monodromieMpossède toujoursλ= 1comme valeur propre.

B.2.2 Lasection de Poincaré La section de Poincaré est un outil très fréquemment utilisé pour étudier les systèmes dynamiques (Sey del, 1988; Bergéet al., 1988) et notamment la stabilité des orbites périodiques. Considérons comme au paragraphe précédent queϕ(t,x 0 )est une trajectoire représentant la solution du système (B.1) muni de la condition initialex(0) =x 0 . Au lieu de s’intéresser directement àϕ(t,x 0 ), comme cela a été fait pour définir la matrice de monodromie, on va considérer l’ensemble des pointsp,p,p,∙ ∙ ∙ 0 1 2 correspondant aux intersections successives de la trajectoireϕ(t,x 0 )avec une hypersurfaceΣ p de dimension 2 n−1appeléesection de Poincaré. Ce plan de coupeΣ p peut, en principe, être quelconque mais un choix approprié permet d’obtenir des sections aisément exploitables. n−1n−1 SoitT:R→Rl’application continue transformant un point en son suivant sur la section de Poincaré, on a, pour une trajectoire quelconque, la relation de récurrence suivante: p=T(p). k k−1 Pour une solution périodique quelconque du système (B.1), la transformationTest équivalente à l’identité ∗ puisque la trajectoire se referme sur ellemême.pest alors un point fixe de l’applicationT:, soit 0 ∗ ∗∗ p=T(p) =T(T(p)) =. . . . 0 00 Choisissons l’hypersurfep aceΣ p contenant le pointx 0 que l’on dénomm 0 sur l’hypersurface. Dans le même esprit que pour introduire la matrice de monodromie, on peut étudier l’écart, au bout d’un itéré de ∗ l’applicationT, des images du point périodiquepdont on aurait très légèrement modifié la position initiale 0 ∗ sur la section de Poincaré et du pointp:(voir figure B.1 pour le principe) 0 ∗ ∗ δp(T) =T(p+δp)−T(p). 0 0 0 2. Il est cependant imposé que la trajectoireϕ(t,x 0 )doit toujours couper la sectionΣ p dans le même sens.

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trajectoire perturbée

cycle limite

Σ p

∗ p δp(T) 0 δp) 0

−1

(C)

Im

0

α+iβ

+1 Re

α−iβ

FigureB.2 –Différents croisements du cercle FigureB.1 –Base de la théorie de Floquet. unité par les valeurs propres de la matrice de Cycle limite et trajectoire perturbée. Floquet. Puisque ∗ ∂T(p) ∗ ∗ 0 2 T(p+δp)=T(p) +δp+O(δp) 0 00 0 0 ∂p 0 il vient immédiatement: ∗ ∂T(p) 0 2 δp(T) =δp+O(δp) 0 0 ∂p 0 où la matrice ∗ ∂T(p) 0 F=(B.5) ∂p 0 est appeléematrice de Floquet.

La solution périodique est stable si et seulement sikδp(T)k<kδpk, soit encore: 0

kFδpk<kδpk.(B.6) 0 0 Soitµ i , i= 1,∙ ∙ ∙,n−1le spectre des valeurs propres de la matrice de FloquetF, la trajectoire périodique est – linéairementstable si toutes les valeurs propresµ i ont un module strictement inférieur à1, – linéairementinstable si au moins une valeur propre deFa un module supérieur à1. La perte de stabilité de la solution périodique (du cycle limite) correspond donc à la traversée du cercle unité par une (ou plusieurs) valeur(s) propre(s) de la matrice de Floquet (figure B.2). Lorsque deux valeurs propres complexes conjuguéesα±iβtraversent simultanément le cercle unité, on obtient une bifurcation de Hopf,supercritique(figure B.4) lorsque les termes non linéaires de plus haut degré ont un effet opposé à celui de l’instabilité engendrée par le terme d’ordre inférieur,souscritique(figure B.3) lorsque c’est l’inverse (Bergé et al., 1988).

3 Les deux figures B.5 et B.6 sont représentées pour un flot dansR, l’hypersurface se réduisant à un plan 2 (R). La figure B.5 présente la trajectoire de phase d’une solution périodique. Cette trajectoire suit une orbite fermée appelée cycle limite: suivant le sens de la trajectoire, celleci coupe toujours l’hypersurface au même pointP 0 . La section de Poincaré est alors réduite à l’unique pointP 0 . La figure B.6 présente quant à elle la trajectoire d’une solution non périodique. Dans ce cas, la trajectoire ne suit pas une orbite fermée et coupe l’hypersurface en différents pointsP 0 ,P 1 ,P 2 , etc... formant la section de Poincaré. Dans le cas où la solution

B.2 Stabilité des solutions périodiques

229

est quasipériodique de fréquencesf 1 etf 2 incommensurables, la section de Poincaré est une courbe refermée sur elle même. Dans le cas où ces deux fréquences ne sont pas incommensurables, la section de Poincaré se réduit à un nombre fini de points. r r

α

FigureB.3 –Bifurcation de Hopf super critique.

S

P 0

FigureB.5 –Section de Poincaré d’une solution périodique. Cycle limite.

α

FigureB.4 –Bifurcation de Hopf souscritique.

P 0 P 1 P 2 S

FigureB.6 –Section de Poincaré d’une solution non périodique.

B.2.3 Calculpratique de stabilité Les sections précédentes ont mises en évidence deux manières différentes d’aborder le problème de stabilité n linéaire d’une solution périodique d’un flot deR. Ces deux méthodes sont finalement liées car on montre (Seydel, 1988) que l’on a:

∗ ∗ ∂T(p)∂ϕ(T ,p) 0 0 = ∂p∂p 0 0 oùϕest restreinte auxn−1composante deΣ p . Comme nous l’avions fait remarqué à la fin de la section B.2.1, la matrice de monodromie (de dimensionn×n) définie en (B.4) a systématiquementλ= 1pour valeur propre. En choisissant une base appropriée de représentation pour la matrice de monodromie, lesn−1valeurs propres restantes correspondent à celles de la matrice de Floquet (B.5).

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∂x ∗ Théorème 8Soitxune solutionTpériodique du flot=F(x,α)correspondant à une valeur deαfixée, ∂t la matrice de monodromieM(α)est encore définie parΦ(T)oùΦ(t)est solution du problème matriciel aux valeurs initiales suivant: ∗ ∂Φ∂F(x, α) = Φ,Φ(0) = 1I. ∂ t∂x Soitλ i , i= 1,∙ ∙ ∙,nle spectre de valeurs propres de la matrice de monodromie, on convient, quitte à les renuméroter, queλ n correspond à la valeur propre égale à1de la matrice de monodromie. La stabilité locale de la solution est alors déterminée par lesn−1autres valeurs propres en appliquant la règle suivante: – lasolution périodique est linéairement stable si pour touti= 1,∙ ∙ ∙,n−1on a|λ i |<1, – lasolution périodique est linéairement instable si il existei,1≤i≤n−1tel que|λ i |>1.