Thermodynamique statistique
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Thermodynamique statistique

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THERMODYNAMIQUE STATISTIQUE´OLIVIER CASTERA´ ´Resume. On d´emontre l’expression des probabilit´es thermodyna-miques de la statistique classique de Maxwell-Boltzmann,et quan-tiques de Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein, et Fermi-Dirac.`Table des matieres1. Statistique classique de Maxwell-Boltzmann 21.1. Hypoth`eses fondamentales de Boltzmann 41.2. D´eg´en´erescence 41.3. Statistique classique de Maxwell-Boltzmann 52. R´epartition la plus probable 73. Relation entre entropie S et nombre de complexions W 94. Param`etres α et β de la distribution de Boltzmann 104.1. Param`etre α 104.2. Param`etre β 115. Expression de la fonction de partition Z 155.1. Expression du facteur de d´eg´en´erescence g 16i6. Expression de l’´energie interne 177. Expression de l’entropie en statistique classique de M-B 188. Le paradoxe de Gibbs 199. Statistiques quantiques 209.1. Statistique de Maxwell-Boltzmann corrig´ee 219.2. Ce raisonnement n’est pas tout a` fait exact 229.3. Statistique de Bose-Einstein 239.4. Statistique de Fermi-Dirac 2410. R´epartition la plus probable 2610.1. R´epartition la plus probable en Statistique de B-E 2610.2. R´epartition la plus probable en Statistique de F-D 2811. Entropie en statistique quantique de M-B corrig´ee 2912. Param`etres des statistiques quantiques 300 0012.1. Param`etres β et β des statistiques quantiques 300 0012.2. Param`etres α et α des statistiques quantiques 320 0013. Expressions analytiques des param`etres α et α ...

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Langue Catalan

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THERMODYNAMIQUE STATISTIQUE ´ OLIVIER CASTERA
R´esume´.Oe´dntnomleressiexprsproondeil´tabibreomseht-nady miques de la statistique classique de Maxwell-Boltzmann, et quan-tiques de Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein, et Fermi-Dirac.
Tabledesmatie`res 1. Statistique classique de Maxwell-Boltzmann 1.1.Hypothe`sesfondamentalesdeBoltzmann 1.2.De´g´en´erescence 1.3. Statistique classique de Maxwell-Boltzmann 2. R´ rtition la plus probable epa 3. Relation entre entropieSet nombre de complexionsW 4.Parame`tresαetβde la distribution de Boltzmann 4.1. Parametreα ` 4.2.Param`etreβ 5. Expression de la fonction de partitionZ 5.1.Expressiondufacteurded´ege´n´erescencegi 6.Expressiondele´nergieinterne 7. Expression de l’entropie en statistique classique de M-B 8. Le paradoxe de Gibbs 9. Statistiques quantiques 9.1.StatistiquedeMaxwell-Boltzmanncorrige´e 9.2.Ceraisonnementnestpastout`afaitexact 9.3. Statistique de Bose-Einstein 9.4. Statistique de Fermi-Dirac 10.Re´partitionlaplusprobable 10.1.R´epartitionlaplusprobableenStatistiquedeB-E 10.2.R´epartitionlaplusprobableenStatistiquedeF-D 11.EntropieenstatistiquequantiquedeM-Bcorrige´e 12.Param`etresdesstatistiquesquantiques 12.1.Parame`tresβ0etβ00des statistiques quantiques 12.2.Param`etresα0etα00des statistiques quantiques 13.Expressionsanalytiquesdesparame`tresα0etα00 13.1.Casdesbosonscomple`tementde´ge´ne´r´es 14. Annexes 14.1. Approximation de Stirling Date: 24 mai 2011. 1
2 4 4 5 7 9 10 10 11 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 26 26 28 29 30 30 32 33 37 37 37
´ 2 OLIVIER CASTERA 14.2.Me´thodedesmultiplicateursdeLagrange 14.3.Calculdelint´egraledeGauss 14.4. Fonction Gamma d’Euler
38 39 39
1.Statistique classique de Maxwell-Boltzmann Pourmod´eliserungazdansuneenceinte,imaginonsuneboˆıteopaque ferme´e,contenantNnpaarttiesauhasardsurune´ebtaugo`eelrresaey´ kniveaux
niveau 4 niveau 3 niveau 2 niveau 1
IciN= 9 etk= 4. Soitnile nombre de boules sur le niveaui, n1= 2 n2= 4 n3= 1 n4= 2. Onsupposequelesniveauxd´energiepotentielleεitsen-niidsere´d veauxmod´elisentdesniveauxde´nergiecin´etiquedetranslationdes particulesconstituantlegaz.Danslexemplesuivant,nousallonsde´-terminer l’ensemble desknombres de boules{n1 n2     nk}les plus probablessurchaqueniveau,graceauxhypothe`sesdede´partsurle ˆ nombre total de boulesNretnieigrene´lretsuneUdu gaz dans l’en-ceinte.Cetensembleseranot´e{n01 n02     n0k}ivnealerehcr`tcarhe.Ce lar´epartitiondesboulesquelonauraitleplusdechancedevoirsilon ouvrait la boˆıte. Exemple.seLopyh:ntesuivalesssontaptrdee´esdshte` (1) le nombre total de boule estN= 2 (2)l´energieinterne(enJoules)dusyste`meestU=PiN=1εini= 2J (3)lese´nergiespotentiellesdechaqueniveausont: ε1= 0J,ε2= 1J,ε3= 2J. Ilyadonc3niveauxde´nergie,correspondanta`3´etagespos-sibles. Nous recherchons l’ensemble des 3 nombres{n01 n02 n30}. Voicilesdi´erentespossibilit´esdere´partitiondes2boulesAetBdans laboıˆte:
ε3B ε2 ε1A
THERMODYNAMIQUE STATISTIQUE
A
B
A B
3
Il y a deux fois plus de chance d’avoir une boule sur le niveauε1et une sur le niveauε3, que deux boules sur le niveauε2 t,. Par cons´ equen lar´eponseauprobl`emeestn10= 1,n20= 0,n30= 1.
D´enition1.1.nne´aLoddeseknombres de particules{n1 n2     nk} ou`lonassocieunnombreniveaud´energiea`hcqaeuinεi=1kd,ne´ti un´etatmacroscopique.
En utilisant le vocabulaire de la thermodynamique statistique, nous dironsquele´tatmacroscopiqueleplusprobableestcelui-ci:
carilestre´alise´pardeuxcomplexions(deuxr´epartitions):
B
A
alorsquelautre´etatmacroscopique:
A
B
4
´ OLIVIER CASTERA
nestre´alise´queparuneseulecomplexion:
A B
Lesprobabilite´sthermodynamiquesW(n1 n2 n3´tats)eddsie´ertn s e macroscopiquessontdonne´esparleursnombresdecomplexions W(101) = 2 W(020) = 1 divis´esparlenombretotaldecomplexions.Parcons´equent,l´tt e a macroscopique{n1 n2     nk}le plus probable est celui qui a son nombre de complexionsW(n1 n2     nk)ls´elepluteC.e´ve-amtate´ croscopique se note{n01 n02     n0k}, et son nombre de complexions W(n10 n02     n0k) se noteW0. 1.1.pothHytnlaademfsnoe`esn.anzmltBodeesLes complexions sont´equiprobables. Laprobabilit´edune´tatmacroscopiqueeste´galaunombredecom-plexionsquipermettentdelere´aliser. Le´tatd´equilibrethermodynamiquecorrespond`al´etatmacroscopique le plus probable. 1.2..ecenscre´eeng´´eDevuosevirralIigenereud´iveaunnntquεisoit compos´edegireneceiguaev´dxousnis-seeccnegee´´nre.Cetted´onfondus conf`ereauxdiversniveauxd´energiedespoidsstatistiquesgi´eintre.sd Parexemple,pourunatome,lorsqua`unmeˆmeniveaude´nergiecor-respondentplusieursorbitalesatomiques,ceniveaude´nergieestdit de´ge´n´er´e.Lade´g´en´erescencepeutalorsˆetrelev´eegraˆcea`unchamp magnetique. ´ D´enition1.2.tiquedundsstatiscnoepuio´nreseecd´La´eeguaevi de´nergieεi, est le nombregide sous-niveaux contenus dans ce niveau d´energie.
5
THERMODYNAMIQUE STATISTIQUE gi εi . 2 1 D´enition1.3.sLeannoddee´ginombres de particules par sous-niveaude´nergie,pourchacundeskeigreneni´xdauveεitunine´d, e´tatmicroscopique. Lad´eterminationdun´etatmicroscopiqueestimpossibleexp´erimen-talement. Par exemple, les complexions suivantes A B niveaud´energieε{Betε1{A 1 constituentunseuletmeˆmee´tatmicroscopique. Demeˆmelescomplexions B A ε1{Aε2{Cetε1{Bε2{C sontaussiunseuletmeˆmee´tatmicroscopique,carseulimportele nombredeparticulesparsous-niveaud´energie. 1.3.Statistique classique de Maxwell-Boltzmann.pyto`hseseH ded´epart: (1) le nombre de particulesN (2)le´nergieinternedusyste`meU (3)l´energiedechaqueniveaui:εi=1k (4)lade´g´ene´rescencedechaqueniveaui:gi=1k Leproble`meconsistea`de´terminerl´etatmacroscopique{n1 n2     nk} leplusprobable,celuidontlenombredecomplexionsassoci´eestleplus elev´e. ´ Supposons donc qu’il y aitn1particules discernables surε1,n2surε2, . . .,nksurεkel´situcpsra.eLo,selbanrecsidse´eosppsucitianetnpeut lesinterchanger.Decombiendefa¸concetter´epartitionpeut-elleeˆtre realise´e?Endautrestermes,quelestsonnombredecomplexionsW? ´ Proce´donspare´tapes a)Quelestlenombredefa¸consdedisposeruneparticulediscer-nablesurleniveaude´nergieε1en´e´eg´d´reg1seon´rpe?saLfio estg1. b)Quelestlenombredefa¸consdedisposerdeuxparticulesdis-cernablessurleniveaud´energieε1e´rege´d´ne´g1fois ? g1bisit´liospleetticuepar`irerpmerualseopg1possibilites pour ´ la seconde, doncg1×g1=g21.
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