cours-eqa-audiff

Description

Equations aux diff´erences§ 1. Quelques exemplesa) Monsieur Ponce Pilate met a` la banque 5 deniers-or en l’an z´ero avec un int´erˆet annuel de 1%. Combienvont retirer ses descendants en 2003 ?On peut r´esoudre le probl`eme de la mani`ere suivante :posons y(t) la fonction donnant le capital apr`es t ann´ee. Il est ´evident que si t>0, on a y(t +1) = y(t)+0,01 · y(t)=1 ,01 · y(t)ety(0) = 5. En fait, la fonction y(t) est l’inconnue, l’´equationy(t+1)=1,01· y(t) est une ´equation aux diff´erences et le fait que y(0) = 5 est appel´e condition2initiale.Partantdel’´equation encadr´ee, on voit que y(1) = 1,01· y(0), y(2) = 1,01· y(1) = 1,01 · y(0).t 2003Et de mani`ere g´en´erale, y(t)=y(0)· 1,01 . Ce qui veut dire que y(2003) = 5· 1,01 qui est plus de 2milliard de deniers-or !b) D´ecroissance de la masse radioactive d’une substance. Posons m(t) la masse radioactive restante apr`es tann´ee. L’exp´erience montre que m(t)suitl’´equation aux diff´erence suivante : m(t+1)− m(t)=−km(t)o`u k est une constante positive d´ependant de la substance. D´eterminons m(t) si la substance est du radiumet que sa demi-vie est de 1600 ans.L’´equation encadr´ee est ´equivalente a` m(t+1) = (1−k)·m(t). Par un raisonnement analogue au pr´ec´edentt 1600 1exemple, on en d´eduit que m(t)=m(0)· (1− k) . D’autre part, m(1600) = m(0)· (1− k) = · m(0).2 1 t1 1600 1 1600. Ce qui veut dire que m(t)=m(0)· .D’ou(` 1− k)=2 2c) Les tours de Hanoi.C’est `a une vieille l´egende indienne ...

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• Publié par: Phuem
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• Langue: Catalan

Extrait

§1.

Equations

Quelques exemples

aux

diffe´rences

a)MonsieurPoncePilatemeta`labanque5deniers-orenl’anz´eroavecunint´erˆetannuelde1%.Combien

vont retirer ses descendants en 2003 ?

Onpeutr´esoudreleprobl`emedelamanie`resuivante:

posonsy(t)lafeltnannodnoitcnos`eprlatapicateaenn´.

1) =y(t) + 0,01∙y(t) = 1,01∙y(t) ety(0) = 5.

Ilest´evidentquesit >0, on ay(t+

En fait, la fonctiony(titno’ltse)nnueincoequa,l’´

y(t+ 1) = 1,01∙y(terff´ceennaiodiuxe´entauq)utseqteuesltfeiayel´e()0=5estappcondition 2 initialetiuaeq’´eltdanrtaP.eitqunoove´,eacrdnoney(1) = 1,01∙y(0),y(2) = 1,01∙y(1) = 1,01∙y(0). t2003 Etdemani`erege´n´erale,y(t) =y(0)∙1,Ce qui veut dire que01 . y(2003) = 5∙1,est plus de 201 qui

milliard de deniers-or !

b)De´croissancedelamasseradioactived’unesubstance. Posonsm(te`rpssaesaridl)maestanteaoactivert

anne´e.L’exp´eriencemontrequem(tuivancesnte:uanoitauere´ffidx)seq’´tlui

m(t+ 1)−m(t) =−km(t)

o`ukD.e´etmrninosantdelasubstancesopevitie´dednepesnetunsconttam(t) si la substance est du radium

et que sa demi-vie est de 1600 ans.

L’e´quationencadre´eeste´quivalente`am(t+1) = (1−k)∙m(tre´meecn´teadneanlrogauiesaounpn.)aPurtn t 1600 1 exemple,onend´eduitquem(t) =m(0)∙(1−k) . D’autre part,m(1600) =m(0)∙(1−k) =∙m(0). 2     1t 1 1600 1 1600 D’ou`(1−k. Ce ) = qui veut dire quem(t) =m(0)∙. 2 2 c) Les tours de Hanoi.

C’est`aunevieillel´egendeindiennequel’ondoitl’histoiredujeudelatourdeHanoi.Cettel´egende

raconte que ...

Sousledˆome,toutenord’ungrandetmerveilleuxtemplesitu´eexactementa`l’emplacementducentre

dumonde,danslavilledeBe´nares,setrouve,plant´edansunebaseencuivre,troisgrandestigesde

diamant,finescommeledardd’uneabeille.Empil´esl’unsurl’autreetenfil´esdanslatigesetrouvanta`

l’extre´mit´egauche,64disquesfragilesenor.Leplusgranddisqueestendessous,les63autresdisques

sontdispose´spardessus,enordred´ecroissantdediame`tre,formantainsiunetourpyramidale.Latour

deBrahmˆa.

Lesmoinesvivantdanscetempleontcommetˆachedetransf´ererlatourde64disquesdelatigedegauche

surlatigededroite,toutenrespectantlar`egledeBrahmaˆ:unseuldisque`alafoisetjamaisungrand

plateausurunpluspetit.Ondoittoujoursde´poserundisqueenl’enfilantdansunetige.

C’esta`cesmoinesquerevientlelourdfardeauded´eclencherlafindenotremonde.Quandleurtravail

serafini,lemondes’effondreraenpoussi`ere. ´ S’inspirantdecettehistoirelemathe´maticienfranc¸aisEdouardLucaspublialejeudelatourdeHanoi

MMnna2ee´5-000620

1

dansundesquatrevolumessurlesdivertissementsmathe´matiques.Laversionoriginaledujeusefaitavec

huitdisquesempil´es,nousjoueronsavecdesversionsplussimples,3,4ou5disques.Lucaspubliasousle

nomdeClausquiestobtenuenre´organisantleslettresdesonnom.Voil`abienunespritmath´ematique.

Lucasde´montraquepour

refairelatourdeBrahmaˆilfaudra584milliardsd’anne´es.

On estime

aujourd’huil’ˆagedel’universa`15milliardsd’ann´ee,ilvousrestedoncencorebiendutempspour

jouer`alatourdeHanoi,soitencore38foisl’ˆageactueldel’univers.Voyonspluspr´ecise´mentdequoiil

retourne :

aulieudeprendre8ou64disques,prenons-en3etvoyonscommentilestpossibledeproc´eder

a

a

a

b

0

b

3

b

6

c

c

c

a

a

a

b

1

b

4

b

7

c

c

c

a

a

b

2

b

5

c

c

Onvoitdoncqu’ilestpossibleded´eplaceruntasde3disquesen7coupsetonpeutseconvaincre

facilementqu’iln’estpaspossibledefairemieux.Sivousn’ˆetespasconvaincu,lisezlasuite.

2

Posonsy(tenombrem)lpuocuopsminiedmuer´erdacpltanneaux de la tigeagiealat`cI.elntivedtse´

quey(1) = 1 ety(2) = 3.

On a vu que vraisemblablementy(3) = 7.

Nousallonsproc´ederparun

raisonnement parrecncecreu´. Supposons connuy(t−1) et essayons de calculery(tsonseresInt´).uon-uas

disquedubas.Ilfautbiena`unmomentdonn´eled´eplacerdelatigeaigatal`ec. Avant cela, il aura

falluy(t−edtnitalegsspar´episecme´eagegdee´sino.ruP1)coourlupspaige`talac. Finalement, il faut

encorey(t−1) coups pour terminer le processus. Doncy(t) =y(t−1) + 1 +y((t−1). Ce raisonnement

estillustr´eci-dessous

a

a

b

0

b

y(t−1) + 1

c

c

∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙

a

a

b

y(t−1)

b

c

c

y(t) =y(t−1) + 1 +y(t−1)

Onadoncl’´equationauxdiff´erencessuivante:y(t) = 2y(t−verrons plus tard une. Nous 1) + 1 t−1 me´thodege´n´eralepourre´soudrecetyped’´equation.Maissupposonsquel’onsachequey(t−1) = 2−1, t−1t cequiestve´rifie´pourt= 1 ou 2. Alorsy(t) = 2y(t−1) + 1 = 2∙(2−1) + 1 = 2−1.

Ainsi,pourrevenirauproble`meorigineldestoursdeHanoi,siond´eplaceundisqueparseconde(y 64      compris la nuit !), cela fait 2−e1p=r1´8quirtebiesen769501053175d7ns4e44eso6c4lim485nesdrail

d’anne´es!!

§2.

De´finitionsetpremiersr´esultats

Remarquonsde´ja`unepremi`erechose,pastr`esfacilea`comprendre,maisassezimportante:unesuitede x nombresestenfaitunefonction,maisonlanotediffe´remment.Parexemplesionposef(x) = 3 , on

∞n xLa= 3 , on voit cela comme une suite. voit cela comme une fonction. Mais si on pose (x n ) n=1 avec n seulediffe´rence,c’estquepourunesuite,l’ensembleded´epart(lesndesx n ) sont des entiers positifs, alorsquepourlesfonctions,l’ensembledede´partesta prioritouslesneesl.morbse´r

Ainsil’e´quationauxdiff´erencespeuts’e´crirey(t) = 5∙y(t−ou alors1) + 4 x n = 5∙x n−1 Dans le+ 4.

premiercas,onchercheraunefonctionetdanslesecond,onchercheraunsuite.Maislesm´ethodesde

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