Cours "Calcul Différentiel et Intégral I"

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• Publié par: Sien
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• Langue: Catalan

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Cours “Calcul Différentiel et Intégral I” Wolfgang Bertram 8 décembre 2006ii Introduction Introduction Le sujet de ce cours est l’étude et l’analyse des fonctions de plusieurs va- n mriables, f :R →R , ou, plus généralement f : V → W, où V et W sont des espaces vectoriels sur R. Pour donner une idée du plan du cours, on peut le diviser en trois parties principales : I. La continuité : Notions de base de la topologie générale. II. Différentiation. III. Eléments d’intégration. Les fonctions que nous allons étudier sont des fonctions « régulières ». Le 0premier degré de régularité, noté C , est la continuité; le degré suivant, 1noté C , est la continue différentiabilité; encore plus régulières sont les 2 3 ∞fonctionsC ,C , ..., puisC («lisse»). Ces propriétés seront étudiées en détail dans les parties I et II, et nous dirons aussi quelques mots sur les fonctions les plus régulières qui sont les fonctions analytiques. Quantà lapartieIII,commedanslecasd’unevariable,l’intégration adeux aspects, a priori complètement différents l’un de l’autre : d’abord, le calcul d’aires (ou de volumes); cet aspect est étudié dans la théorie de la mesure qui constitue le sujet d’un autre cours. Ensuite, l’intégration joue aussi le rôle d’une « réciproque de la différentiation » : elle permet de « retrouver le chemin parcouru à partir du relevé de vitesse ». Plus précisément, la recherchede primitives mène au problème beaucoup plus vaste d’«intégrer une équation différentielle», et la relation fondamentale qui existe entre la différentiation et l’intégration en une variable sera généralisée par les cé- lèbresthéorèmesdeGaussetdeStokes.DanslapartieIII,nousdéveloppons des outils qui sont nécessaires pour attaquer ces grands sujets, et qui sont également utilisés dans un grand nombre d’autres théories mathématiques. Passons en revue ces trois parties de l’analyse pour le cas des fonctions réelles d’une variable, et essayons de dégager quelques aspects importants qui serviront pour comprendre la suite.6 Introduction iii Continuité Qu’est-ce qu’une fonction continue? Pour trouver une bonne réponse à cette question, les mathématiciens ont mis plus de cent ans de temps de réflexion. Peut-être l’auraient-ils trouvée plus vite s’ils avaient commencé par la question négative : Qu’est-ce qu’une fonction discontinue? Si l’on pose la question de cette façon, on arrive tout naturellement à la fameuse «définitionepsilon-delta»delacontinuité.Poursimplifierlanotation,nous écrivonsd(x,y) =|x−y|pour la distance entredeux pointsx,y de la droite réelleR et B (x) ={y ∈R|d(x,y) < r} pour l’intervalle de centre x et der rayon r. Alors voici la formulation logique de la définition de la continuité d’une fonction f :I →R au point a∈I : (C) (∀ε > 0) (∃δ > 0) (∀x∈I∩B (a)) d(f(x),f(a))6ε.δ Selon les règles de la logique, le contraire logique de (C) est la propriété suivante : (NC) (∃ε> 0) (∀δ > 0) (∃x∈I∩B (a)) d(f(x),f(a))>ε.δ Traduisons la formule (NC) en language usuel : on pourra dire que la fonc- tion f présente au point a un «saut», d’une certaine hauteur, notée ε, où ε est un nombre strictement positif. Cela veut dire que l’on peut trouver des points x aussi proche de a que l’on veut (de distance plus petite que δ, quel que soit δ > 0), tels que l’écart d(f(x),f(a)) entre f(x) et f(a) soit toujours plus grandqueε.Souvent,onpréfèrereformulerles conditions (C) et (NC) en termes de suites : (C’) (∀(x ) ,x ∈I) x →x(n→∞)⇒f(x )→f(x)(n→∞)n n∈N n n n (NC’) (∃(x ) ,x ∈I) x →x(n→∞)∧f(x )6→f(x)(n→∞)n n∈N n n n Les définitions (C)et(C’)sontàlabasedel’approchemoderneà l’analyse; elles sont tellement fondamentales, que nous recommandons au lecteur de les apprendre par cœur comme un poème pour pouvoir les réciter sans hésitation et en toute circonstance. Ces mêmes définitions gardent tout leur sens si, par exemple, d(x,y) désigne la distance entre deux points x,y ndans le plan ou dans R . On peut donc définir les applications continues n mde R dans R exactement de la même manière. On en parlera au cours des trois premiers chapitres. Dérivabilité Pour n’importe quelle fonction f : I →R et x,y ∈ I avec x = y, la pente est définie par f(x)−f(y) . (0.1)P(x,y) := x−y On peut interpréter cette expression comme le coefficient directeur de la sécante de f déterminée par x et y, i.e., de l’hypoténuse dans le triangle6 6 6 6 6 6 iv Introduction rectangle marqué par les trois points (x,f(x)),(y,f(y)) et (y,f(x)) dans 2le plan R . Faisons tendre y vers x : on dit que f est dérivable en x si la « sécante tend vers la tangente», i.e. : (D) Pour toute suitey depoints deI qui tend versx, la limite de la penten 0 0f (x) := lim P(x,y )existe.(Onécritaussif (x) = lim P(x,y).)n→∞ n y→x Mais il existe aussi une deuxième notion qui est tout aussi naturelle : on pourra faire bouger les deux extrémités du triangle caractéristique et faire tendre à la fois x et y vers un point a. Si tout va bien, la sécante devrait, là encore, tendre vers la tangente : (DS) Pour toute suite (x ,y ) de points de I ×I qui tend vers (a,a) (etn n 0tel que x =y ), la limite de la pente f (x) := lim P(x ,y ) existe.n n n→∞ n n 0(On écrit aussi f (a) = lim P(x,y).)(x,y)→(a,a) x=y La surprise est alors que les deux notions ne coïncident pas! Donnons un contre-exemple : la fonction n 12x sin( ) six = 0 xf :R→R, f(x) = 0 six = 0 1est bien différentiable en tout point x∈R : comme|sin( )|6 1, on trouvex 0que f (0) = 0, et pour x = 0, les règles usuelles de dérivation donnent 1 10f (x) = 2xsin( )− cos( ). Mais elle ne satisfait pas la condition (DS) : x x 1comme cos( ) a des oscillations de plus en plus rapprochées quand x tend x vers 0, on peut trouver une suite de couples (x ,y ), disons, avec x 3) Il existe une fonction continue de deux variables f :I×I →R telle <1>que f (x,y) =P(x,y) si x =y.6 Introduction v <1> 0Sous ces conditions, on a f (x,x) =f (x). 1On dit alors que f est de classe C . Nous allons esquisser la preuve de ce théorème tout de suite. La preuve la plus simple utilise le théorème des valeursintermédiaires;maiscettepreuvenepeutpasêtregénéraliséeaucas ndeR . Pour cette raison, nous en préférons une autre dont l’outil principal est l’intégrale et sa relation avec le calcul différentiel. La relation fondamentale entre différentiation et intégration Le lecteur connaîtra la «formule reine» du calcul différentiel et intégralen une variable : si f :I →R est dérivable et x,y∈I,Z y 0f (t)dt =f(y)−f(x). (0.2) x Nous supposons connues quelques propriétés simples de l’intégrale – à sa- voir : a) Toute fonction continue f : [a,b]→R est intégrable.Rbb) Normalisation : 1du =b−a. a R R R c) L’intégrale est linéaire : (f +g)(u)du = f(u)du+ g(u)du,R R λf(u)du =λ f(u)du. R R d) L’intégrale est monotone : | f(u)du|6 |f(u)|du. Mais (vu qu’il y a plusieurs façons de se procurer la notion d’intégrale, qu’elle soit de Riemann ou de Lebesgue ou autre) nous n’allons pas inter- roger le lecteur sur les origines de son savoir. De toute manière, la formule reine est une conséquence des propriétés a) – d), ainsi que le fait que l’inté-Rtgrale à borne supérieure variable, F(t) = f(u)du (pour n’importe quel t0 0choix de t ∈ [a,b]), est une primitive de f, i.e., F =f. Si, dans la formule0 t−xreine, on fait un changement de variables u = , on peut la reécrire :y−xZ 1 0f(y)−f(x) = (y−x) f (x+u(y−x))du, 0 de sorte que Z 1f(y)−f(x) 0= f (x+u(y−x))du. (0.3) y−x 0 Pour x = y on reconnaît la pente! Mais le membre de droite a aussi un 0sens si x = y : on retrouve f (x). Cette remarque contient déjà la moitié de la preuve du théorème de la pente (cf. chapitre 5, preuve du théorème 5-3.2). nPour généraliser cette approche au cas de R , il faut toutefois franchir nencoreunobstacle:six,y∈R ,alorsx−y estunvecteur,etonnepeutpasIntroduction 1 diviser par des vecteurs. C’est un problème de nature plutot géométrique que nous allons résoudre en modifiant la définition de la pente dans le cas général (chapitre 6). Revenons au théorème lui-même, en oubliant sa preuve. D’une certaine 1façon, il ramène la notion de dérivabilité (de classeC ) à la notion plus 1primitive de continuité : une fonction f estC si et seulement si on peut prolongersapenteenune fonctioncontinue de deux variables (x,y)∈I×I. A priori, la pente n’est pas définie sur la diagonale{(x,x)|x∈I} de I×I, 1 0mais, si f estC , on peut «boucher les trous» en prenant la dérivée f (x) comme valeur. Comme nous venons de le voir, pour des fonctions comme 2 1f(x) =x sin( ), la situation est moins agréable et il faut s’attendre à des x complications. Pour cette raison, nous écartons de telles fonctions, et nous 1nous concentrons, dans ce cours, sur des fonctions de classeC . ∗∗∗ Les notes qui suivent font partie d’un projet de livre qui les mettra dans une perspective plus générale. Le signe ?? remplace des références à des exercices et à des résultats ultérieurs qui seront donnés dans la version finale de ce projet. Quelques références bibliographiques se trouvent à la fin du texte. Je ne peux pas exclure que ce texte contient encore des erreurs, et je re- mercie le lecteur de me signaler s’il en trouve. Vandœuvre, septembre 2006 W. Bertram2 1. Continuité dans les espaces métriques Chapitre 1 Continuité dans les espaces métriques nL’esp