◦N d’ordre 2764 THÈSE présentée A L’UNIVERSITÉ PAUL SABATIER DE TOULOUSE pour obtenir LE GRADE DE DOCTEUR DE 3ème CYCLE Spécialité : MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES par Joseph SAINT PIERRE TESTS D’HYPOTHÈSES D’INÉGALITÉ DANS LE MODÈLE LINÉAIRE GÉNÉRALISÉ Soutenue le 3 février 1983 devant la Commission d’Examen : MM. H. CAUSSINUS Président J.M. BREMNER O. BUNKE J.R. MATHIEU Examinateurs X. MILHAUD A. RAUGISAINT PIERRE (Joseph). - Tests d’hypothèses d’inégalité dans le modèle linéaire généralisé. - 60 p. Th. 3ème cycle Mathématiques Appliquées Toulouse III : 1983; 2764. RÉSUMÉ : Dans un premier chapitre, on donne quelques rappels indispensables sur les problèmes de statistique inférentielle sous contraintes d’inégalités et notamment sur la régression isotone et des tests unilatéraux dans le cadre de lois normales multidimensionnelles. Le deuxième chapitre est consacré à la présentation du modèle linéaire généralisé multidimensionnel avec un rappel des principaux ré- sultats concernant la normalité asymptotique des estimateurs du maximum de vraisemblance.Dansletroisièmechapitreonconstruitdestestsd’unehypothèse simple contre une hypothèse d’inégalité portant sur toutes les composantes du paramètre, ainsi que des tests d’hypothèses d’inégalité portant sur toutes les composantes du paramètre, cela dans le cadre du modèle linéaire généralisé. On montre que les statistiques de ces tests sont asymptotiquement distribuées 2suivant la loi deχ¯ . Dans le quatrième chapitre on ...
◦N d’ordre 2764
THÈSE
présentée
A L’UNIVERSITÉ PAUL SABATIER DE TOULOUSE
pour obtenir
LE GRADE DE DOCTEUR DE 3ème CYCLE
Spécialité : MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES
par
Joseph SAINT PIERRE
TESTS D’HYPOTHÈSES D’INÉGALITÉ
DANS LE MODÈLE LINÉAIRE GÉNÉRALISÉ
Soutenue le 3 février 1983 devant la Commission d’Examen :
MM. H. CAUSSINUS Président
J.M. BREMNER O. BUNKE
J.R. MATHIEU Examinateurs
X. MILHAUD A. RAUGISAINT PIERRE (Joseph). - Tests d’hypothèses d’inégalité dans le modèle
linéaire généralisé. - 60 p.
Th. 3ème cycle Mathématiques Appliquées Toulouse III : 1983; 2764.
RÉSUMÉ :
Dans un premier chapitre, on donne quelques rappels indispensables sur les
problèmes de statistique inférentielle sous contraintes d’inégalités et notamment
sur la régression isotone et des tests unilatéraux dans le cadre de lois normales
multidimensionnelles. Le deuxième chapitre est consacré à la présentation du
modèle linéaire généralisé multidimensionnel avec un rappel des principaux ré-
sultats concernant la normalité asymptotique des estimateurs du maximum de
vraisemblance.Dansletroisièmechapitreonconstruitdestestsd’unehypothèse
simple contre une hypothèse d’inégalité portant sur toutes les composantes du
paramètre, ainsi que des tests d’hypothèses d’inégalité portant sur toutes les
composantes du paramètre, cela dans le cadre du modèle linéaire généralisé.
On montre que les statistiques de ces tests sont asymptotiquement distribuées
2suivant la loi deχ¯ . Dans le quatrième chapitre on construit des tests d’une hy-
pothèse linéaire composée contre une hypothèse d’inégalité. On détermine aussi
la distribution asymptotique des statistiques de test.
MOTS CLÉS :
– Régression isotone
– Hypothèses restreintes
– Test du rapport de vraisemblance
– Modèle linéaire généralisé
– Structure gaussienne tangente
– cône convexe polyédrique
– Test des multiplicateurs de Lagrange
2– Loi de χ¯
– Probabilité orthante
JURY et date de soutenance : 3 Février 1983
Président : H. CAUSSINUS
Membres : J.M. BREMNER
O. BUNKE
J.R MATHIEU (Laboratoire de Statistique et Probabilités)
X. MILHAUD
A. RAUGI
iJe remercie
Henri CAUSSINUS pour avoir accepté de présider le jury de cette thèse,
ainsi que pour Les nombreux conseils qu’il m’a prodigués lors de L’élaboration
de celle-ci,
Jean-René MATHIEU qui a dirigé ce travail, je le remercie pour sa disponi-
bilité et la qualité des relations que j’ai eues avec lui,
Olaf BUNKE, Professeur à L’Université Humboldt de Berlin, pour s’être
intéressé à mon travail, pour m’avoir aidé à l’amélioration de celui-ci et pour
l’immensehonneurqu’ilmefaitenacceptantdeparticiperaujurydecettethèse,
J.M. REMNER, Professeur à L’université de Kent à Canterbury, poux L’in-
térêt qu’il a manifesté pour mon travail lors de sa venue à COMPSTAT 82, pour
avoir lu une version écrite en anglais de cette thèse, et pour l’honneur qu’il me
fait en acceptant de se déplacer poux participer au jury de celle-ci,
Xavier MILHAUD pour avoir suivi mes exposés, pour les remarques qu’il
m’a faites et sa participation au jury,
Albert RAUGI pour m’avoir aidé dans mon travail, pour avoir accepté de le
lire et de participer au jury,
Akio KUDÔ, Professeur à L’Université de Kyushu à Fukuoka. pour L’inté-
rêt qu’il a porté à mon travail Lors de notre rencontre à Toulouse au cours de
COMPSTAT 82 et pour m’avoir. fait parvenir ses publications.
Je remercie P. BAYLAC et R. DEBEURRE pour L’efficacité avec laquelle
elles ont mené à bien l’ingrat travail de frappe, O. LANDREVIE dont la gen-
tillesse et la compétence permettent de résoudre la plupart des problèmes admi-
nistratifs, Ch. TERTRE pour le travail d’impression.
Je remercie tous mes copains du Laboratoire qui ont contribué à rendre l’am-
biance de travail plus agréable, je ne peux les citer tous mais je ne peux m’em-
pêcher de remercier personnellement : Mostafa, Amir, Bébert, Bernard, Moha,
Bachir, Lucile, Véro, J.R., Pierre Bru ... j’en ai sans doute oubliés ne m’en
veuillez pas...
iiINTRODUCTION
Considéronslasituationsuivante:soitdeuxchampsentoutpointidentiques,
on fait dans l’un et l’autre champ la même culture, dans le premier champ on
met un engrais fertilisant et dans le second on ne met rien. Il est alors possible
d’affirmer a priori que le rendement dans le second champ sera inférieur à celui
du premier. Cet exemple de situation conduit le statisticien à l’utilisation du
testdit"testunilatéral"s’ilveutjugerdel’efficacitédel’engrais.Lajustification
de cela est évidente : on jugera en effet que l’engrais est "bon" seulement si le
rendement observé dans le premier champ est supérieur a celui du second. Alors
que si on veut juger de "l’effet" de l’engrais avec le "test bilatéral" on prend en
compte la valeur absolue de la différence des rendements observés. Il convient
donc dans chaque situation statistique d’utiliser les informations obtenues "a
priori". Ce genre de situations a conduit à la théorie de la régression isotone et
aux tests d’hypothèses ordonnées ainsi qu’aux tests "unilatéraux multidimen-
sionnels". Ces théories ont été mises au point dans le modèle linéaire par D.J.
Bartholomew (1959), A. Kudô (1963), P. Nûesch (1966) et sont largement com-
mentées dans Barlow et Coll. (1972).
La normalité n’étant pas toujours requise, certains auteurs se sont intéressés
à l’extension de ces tests à des situations où les variables observées suivent des
lois autres que la loi normale, mais cependant usuelles : binomiale, poisson etc...
Dans Barlow et Coll. (1972) certains cas particuliers sont étudiés. T. Robertson
et E.J. Wegman (1978) se sont penchés sur le problème des tests d’hypothèses
ordonnées dans une structure exponentielle. Les tests de ces auteurs utilisent le
critère du rapport de vraisemblance. D’autre part, afin de recouvrir ce grand
nombre de loi de probabilités usuelles J. Nelder et R.W.M. Wedderburn (1972)
ont introduit le modèle linéaire généralisé qui constitue une extension des struc-
tures exponentielles. J.R. Mathieu (1978, 1981) a donné une version du modèle
linéaire généralisé multidimensionnelle afin de pouvoir étudier certaines situa-
tions n’entrant pas dans le cadre du modèle linéaire généralisé de J.A. Nelder et
R.W.M. Wedderburn, notamment les tables de contingences. Les auteurs cités
ont étudié dans le modèle linéaire généralisé les tests d’hypothèse linéaires; le
but de notre travail est d’étudier dans ce modèle les tests "unilatéraux multidi-
mensionnels".
1Dans le premier chapitre on donne des rappels sur les tests d’hypothèses
restreintes dans le modèle linéaire c’est-à-dire sur la régression isotone .
Dansledeuxièmechapitreonprésentelemodèlelinéairegénéralisé(G.L.I.M.)
danssaversionmultidimensionnelle,onrappellelesprincipauxrésultatsnotam-
ment sur la normalité asymptotique des estimateurs.
Dans le troisième chapitre on construit dans le G.L.I.M, des tests d’une hy-
pothèse simple contre une hypothèse imposant au paramètre des contraintes
d’inégalités sur toutes ses composantes, On montre que les statistiques de tests
2sont asymptotiquement distribuées suivant une loi de χ¯ que l’on explicite. On
construitaussidestestsd’unehypothèseimposantauparamètredescontraintes
d’inégalité sur toutes ses composantes contre l’hypothèse contraire, on établit la
distribution asymptotique des statistiques de tests. Dans l’un et l’autre cas on
utilise la statistique du rapport de vraisemblance ainsi qu’une statistique dont
l’écriture est similaire à la statistique du test de Wald d’une hypothèse linéaire.
Dans le cas d’une hypothèse nulle imposant au paramètre des contraintes d’in-
égalités, on construit deux tests à l’aide de multiplicateurs de Lagrange. On
montre l’équivalence asymptotique des différents tests utilisés.
Dans le quatrième chapitre on se situe toujours dans le G.L.I.M on s’inté-
resse aux tests d’une hypothèse nulle linéaire composée contre une hypothèse
alternativeimposantdescontraintesd’inégalitésauparamètre.Ladifficultésup-
plémentaire par rapport au chapitre précédent est due au fait que les distribu-
tions asymptotiques des statistiques de tests dépendent de la vraie valeur du
paramètre sous l’hypothèse nulle; comme celle-ci est composée, il est délicat de
construira des tests de niveau asymptotiques constant, ce qu’on s’est efforcé de
faire ici.
2Chapitre I
RAPPELS SUR LES TESTS
D’HYPOTHÈSES
RESTREINTES DANS LE
CAS GAUSSIEN
3I.1 Tests unilatéraux dans une structure gaus-
sienne
Soit la structure statistique :
2 ? n( ,B ,{N(μ,σ ), μ∈ , σ∈ }) .+
On s’intéresse au test
2 ?de H : (N(μ ,σ ), σ∈ )0 0 +
2 ?contre H : (N(μ ,σ ), μ>μ , σ∈ ) .1 0 0 +
Pour abréger les notations on écrit H :μ =μ et H :μ>μ .0 0 1 0
X ,X ,...,X les applications coordonnées ce sont des variables aléatoires1 2 n
2réelles (v.a.r.) indépendantes de loi N(μ,σ ).
n nX X
1 1 22¯ ¯X = X S = (X −X)i in n−1
i=1 i=1
√ ¯n(X−μ)
suit une loi de Student à (n−1) degrés de liberté.S
On notera t , la valeur qui est dépassée avec une probabilité α par uneμ,α
variable aléatoire de Student àμ degrés de liberté. Le test de Student unilatéral
de H contre H est le suivant (test de niveau α ).0 1
√ ¯n(X−μ)
rejet de H pour >t0 n−1,αS
c’est sans doute l’exemple le plus simple et le plus connu de statistique infé-
rentielle sous contrainte d’ordre.
Soit la structure statistique
2 ? n1( ,B ,{N(μ ,σ ),μ ∈ ,σ∈ }) ⊗1 1 +
2 ? n2( ,B ,{N(μ ,σ ),μ ∈ ,σ∈ }) .2 2 +
on s’intéresse au test de H :μ =μ0 1 2
contre H :μ >μ1 1 2
2 2¯ ¯X (resp.X ),S (resp.S ) désignent les mêmes choses que précédemment1 2 1 2
2 ? n1dans la structure ( ,B ,{N(μ ,σ ),μ ∈ ,σ∈ })1 1 +
2 ? n2(resp. ( ,B ,{N(μ ,σ ),μ ∈ ,σ∈ }) ) .2 2 +
2 2(n −1)S +(n −1)S1 22 1 2S = ,
n +n −21 2
4LetestdeStudentauniveauαdeH contreH sefaitdelamanièresuivante:0 1
¯ ¯X −X1 2√rejet de H pour >tν,α ν =n +n −2.0 1 21 12(S ( + ))n n1 2
C’estunautreexempleélémentairedestatistiqueinférentiellesouscontraintes
d’ordre.
Problème :
Soit la structure statistique :
2 ? n1( ,B ,{N(μ ,σ ),μ ∈ ,σ∈ })1 1 +
2 ? n2⊗( ,B ,{N(μ ,σ ),μ ∈ ,σ∈ })2 2 +
2 ? n3⊗( ,B ,{N(μ ,σ ),μ ∈ ,σ∈ }) .3 3 +
Soient les hypothèses