Some topics in Lipschitz analysis on metric spaces

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• Publié par: universidad_complutense_de_madrid
• Publié le: 01 janvier 2011
• Nombre de lectures: 72
• Langue: Español
• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS
Departamento de Análisis Matemático





SOME TOPICS IN LIPSCHITZ ANALYSIS ON METRIC
SPACES

MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR
PRESENTADA POR

Estibalitz Durand Cartagena
Bajo la dirección del doctor

José Ángel Jaramillo Aguado


Madrid, 2011



ISBN: 978-84-694-6245-4 © Estibalitz Durand Cartagena, 2011 Some topics in Lipschitz Analysis on metric spaces
Algunos aspectos del Analisis Lipschitziano en espacios metricos
Estibalitz Durand Cartagena
Memoria presentada para optar al grado de
Doctor en Ciencias Matem aticas
con menci on de Doctorado Europeo
Enero 2011
Dirigida por el Profesor
Jesus Angel Jaramillo Aguadoi
Agradecimientos
Ha llegado el momento de agradecer el carino~ y apoyo mostrado por todas aquellas personas
que han hecho posible este trabajo.
En primer lugar me gustar a agradecer a mi director Jesus A. Jaramillo su gran apoyo,
esfuerzo y dedicaci on a lo largo de todo este tiempo, tanto en el am bito academico como
en el personal. Jesus me ha transmitido su entusiasmo por aprender cosas nuevas, entu-
siasmo sin el cual, no nos hubieramos metido en este proyecto. Desde el primer d a me
ha dado alas y me ha proporcionado todos los medios para hacer aquello que m as me
gustaba apoy andome en todo momento. Jesus es una de las personas m as positivas y m as
pacientes que conozco. Han sido in nitas las veces que he subido a su despacho con cara
de desesperaci on, pensando que el mundo se acababa, y he bajado sonriendo, convencida
de que al nal del tunel hab a luz y que el vaso estaba medio lleno. Jesus, much simas
gracias por todo.
El estado de animo de una persona lo es todo a la hora de trabajar. He tenido una
inmensa suerte con todos mis companeros-amigos~ de faena que han hecho que cada d a
de trabajo mereciera mucho la pena. Me lo he pasado estupendamente entre las cuatro
paredes del 251 compartiendo dudas existenciales y matem aticas, pero sobre todo risas,
desayunos, comidas, cafes, canastas, colonos, etc., e incluso algun que otro momento de
desesperaci on. Yo todav a no entiendo omoc de este despacho sale la gente doctorada (<pero
hay muchos precedentes!). Os debo much simo a Pedro, Carlos I, Carlos II (>an alisis?),
Carlos III, Pablo, Bea, Luis, Jer onimo, Oscar, Gaussa, ::: y todos aquellos que no eran
o cialmente del despacho pero como si lo fueran: Angel, Jose, Nacho, David, Marco,
Raquel, Alvaro, Jesus, Mar a, Grego, Pipo,:::
No siempre las cosas salen como uno espera y hay muchos momentos en los que uno
est a tentado de tirar la toalla. Jose, muchas gracias por haber estado ah de manera
incondicional en todo momento. Por todas las horas y charletas matem aticas que me has
dedicado, por cada risotto y cada pasta que levantan el animo a cualquiera y por creer en
m . Te estare eternamente agradecida.
Quer a agradecer a todos los miembros del Departamento de An alisis Matem atico de la
UCM por haberme hecho sentir como en casa. A Abraham y a Bea por su disponibilidad
y buen humor desde primeras horas de la manana.~ Y a Toni,~ por todos los andaluces y
postres decorados que d a tras d a nos ha hecho con tanto carino.~
Quiero agradecer tambien al Departamento de Matem aticas de la Universidad de
Sevilla su hospitalidad durante la visita en Febrero de 2010. En especial a Rafa Esp nola,
Carlos Perez y Aurora Fern andez.ii
A lo largo de estos anos~ he realizado tres estancias que han sido claves en mi formaci on.
I would like to thank Scuola Normale Superiore di Pisa, Universit at Bern and Univer-
sity of Cincinnati for its kind hospitality during my research stays. Of course I specially
thank Prof. Luigi Ambrosio, Prof. Zolt an Balogh and Prof. Nages Shanmugalingam for
taking very good care of me during these periods. I am indebted to them for providing an
opportunity to work in di erent exciting areas.
I would like to thank Antoine, Filippo, Carina, Gianluca, Fabrizio, Francesca, Silvia,
Ana L., Riikka, Katrin, Lukas, Sara, Peter, Ariane, Claudio and John M. for making me
feel like at home when I was abroad.
From the mathematical point of view, it has been a pleasure to work with Antoine
Lemenant and Katrin F assler. Thanks for your patience with me. I have the pleasure to
know two really good mathematicians and to have two really good friends.
Vorrei ringraziare il Prof. Luigi Ambrosio per la sua ospitalit a e l’in nita pazienza che
ha avuto con me. Volevo esprimere la profonda ammirazione che ho per Lei non solo come
matematico ma anche come persona. Non dimenticher o mai il bell’u cio dove ho vissuto
durante i miei soggiorni.
I would like to thank Prof. Jeremy Tyson for all helpful mathematical discussions and
his valuable comments on this thesis. It has been a great pleasure to collaborate with you.
Nages, I would like to thank you all your support during the thesis. I have been really
fortunate to have worked and learnt from you. I will not forget all our chocolate and
Sugreevan moments. Your help and advice have been invaluable.
Por ultimo quiero agradecer a mis padres, a toda mi familia y a mis amigos el amor,
el apoyo y comprensi on que me han brindado todos estos anos.~
A todos, gracias de coraz on.iii
Index
Resumen 1
I. Analysis on metric spaces: Introduction and Preliminaries 11
I.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I.2. Notation and Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
II. Pointwise Lipschitz functions on metric spaces 25
II.1. Pointwise Lipschitz functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
II.2. A Banach space structure for pointwise Lipschitz functions . . . . . . . . . . . . . . . 33
II.3. A Banach-Stone Theorem for pointwise Lipschitz functions . . . . . . . . . . . . . . . 40
II.4. Pointwise Isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1;1III. Sobolev spaces on metric measure spaces: N 51
III.1. Sobolev spaces on metric measure spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1;1III.2. Newtonian spaces: N (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1;1 1;1III.3. Equality of the Sobolev spaces M (X) and N (X) . . . . . . . . . . . . . . . . 64
IV. 1-Poincare inequality in metric measure spaces 75
IV.1. 1-Poincare inequality in metric measure spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
IV.2. Geometric characterization of1-Poincare inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
IV.3. p-Poincare inequality vs.1-Poincare inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
IV.4. Open problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
V. Recti able curves in Sierpinski carpets 107
V.1. Self-similar and nonself-similar Sierpinski carpets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
V.2. Slopes of nontrivial line segments in Sierpinski carpets . . . . . . . . . . . . . . . . . 110iv Index
V.3. Di erentiable and recti able curves in the carpets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
VI. Appendix: Metric di erentiability of Lipschitz maps on Wiener spaces 127
VI.1. Gaussian measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
VI.2. Abstract Wiener spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
VI.3. H-Lipschitzian functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
VI.4. Metric di erentiability and w -di erentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
VI.5. Rademacher’s theorem forH-Lipschitzian functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Bibliography 1431
Resumen
En los ultimos anos,~ el alculoc de primer orden desarrollado cl asicamente en el marco de
los espacios eucl deos, se ha extendido a espacios que no necesariamente est an dotados
de una estructura diferenciable; muchos de los avances en esta l nea se pueden consultar
en los trabajos de Heinonen [55, 56], Ambrosio-Tilli [4], Haj lasz-Koskela [54] o Semmes
[94]. El estudio de los espacios metricos de medida, es decir, espacios metricos dotados
de una medida de Borel, es rico en aplicaciones dentro de diferentes areas del an alisis
matem atico, como por ejemplo en la teor a no-lineal del potencial [10],[11],[99],[76], los
grupos de Carnot [23],[84],[7], la teor a de las aplicaciones casi-conformes y casi-regulares
[59],[58],[57], ciertos resultados estructurales sobre (no) inmersiones de espacios metricos
[88],[26], el an alisis en fractales [94],[32],[101] o el an alisis en grafos [30]. Veanse tambien
[54] y [56] y las referencias bibliogr a cas que aparecen en dichos trabajos.
A nales de los anos~ setenta ya estaba claro que gran parte del an alisis que involucra
simplemente a las funciones (y no a sus derivadas), pod a ser desarrollado en el contexto
de espacios (casi-)metricos dotados de una medida de Borel doblante (tambien llamados
espacios de tipo homogeneo); veanse por ejemplo [28, 29]. Una medida de Borel no trivial
sobre un espacio metrico se dice doblante si la medida de la bola de radior est a controlada
de manera uniforme por la medida de la bola de ra