La lecture à portée de main
Description
Informations
Publié par | Zuib |
Nombre de lectures | 13 |
Langue | Español |
Extrait
6
6
6
V
aleurs
et
vecteurs
p
rop
res
Universit
e
Ren
e
Desca
rtes
Probl
eme
tr
es
imp
o
rtant
en
analyse
num
erique
UFR
de
math
ematiques
et
info
rmatique
Di cile
Rema
rque
:
-
les
valeurs
p
rop
res
p
euvent
^
etre
complexes,
m
^
eme
si
la
matrice
est
r
eelle
-
les
valeurs
p
rop
res
d’une
matrice
sym
etrique
sont
r
eelles
chapitre
9
Th
eo
r
eme
de
Gerschgo
rin-Hadama
rd
V
aleurs
p
rop
res
et
vecteurs
p
rop
res
Si
A
est
une
matrice
ca
rr
ee
d’o
rdre
n
P
P
n
0
n
A
=
j
a
j
,
A
=
j
a
j
i
ij
ij
j
j
=1
;j
=
i
i
=1
;i
=
j
alo
rs
les
valeurs
p
rop
res
de
A
appa
rtiennent
a
la
r
eunion
des
n
disques
d
e nis
pa
r
j
z
a
j
A
.
ii
i
De
m
^
eme
elles
appa
rtiennent
a
la
r
eunion
des
0
n
disques
d
e nis
pa
r
j
z
a
j
A
j
j
j
Ce
th
eo
r
eme
p
ermet
de
situer
grossi
erement
les
valeurs
p
rop
res.
M
etho
des
num
eriques
2003/2004
-
D.P
astre
La
lo
calisation
est
d’autant
meilleure
que
les
licence
de
math
ematiques
et
licence
MASS
termes
diagonaux
sont
grands
devant
les
autres.
Cas
extr
^
eme
:
matrice
diagonale
1
2
Th
eo
r
eme
-
Soit
A
une
matrice
ca
rr
ee
d’o
rdre
n
v
erifant
les
p
rop
ri
et
es
suivantes
:
1)
ses
valeurs
p
rop
res
v
eri ent
j
j
>
j
j
i
1
i
Algo
rithme
de
la
puissance
it
er
ee
p
our
i
=
2
:::n
2)
A
admet
n
vecteurs
p
rop
res
ind
ep
endants
Calcul
de
la
valeur
p
rop
re
de
plus
grand
mo
dule
(1)
(2)
(
n
)
x
,
x
,
...,
x
,
P
(0)
n
(
i
)
et
du
vecteur
p
rop
re
asso
ci
e,
dans
le
cas
o
u
il
3)
le
vecteur
initial
v
s’
ecrit
c
x
avec
i
i
=1
(1)
(2)
(
n
)
existe
une
seule
valeur
p
rop
re
plus
grande
en
c
=
0
dans
la
base
x
,
x
,
...,
x
,
1
(
p
1)
(
p
)
Av
mo
dule
que
toutes
les
autres.
alo
rs
v
=
devient
p
rop
o
rtionnel
a
(
p
1)
k
Av
k
(1)
p
x
quand
p
!
1
et
k
Av
k!j
j
i
On
fo
rme
la
suite
de
vecteurs
(
p
1)
(
p
)
Av
v
=
Asp
ect
algo
rithmique
(
p
1)
k
Av
k
a)
test
d’a
rr
^
et
:
si
>
0
(resp.
<
0),
on
1
(
o
)
n
avec
v
vecteur
a
rbitraire
de
R
s’a
rr
^
ete
si
les
rapp
o
rts
des
comp
osantes
de
n
et
k
k
no
rme
de
C
(
p
+1)
(
p
)
v
et
v
appa
rtiennent
a
]1
;
1
+
[
(resp.
]
1
;
1
+
[)
Soit
la
valeur
p
rop
re
de
plus
grand
mo
dule
b)
vitesse
de
convergence
:
d’autant
plus
grande
1
2
(1)
que
j
j
est
p
etit
o
u
est
la
plus
grande
et
x
un
vecteur
p
rop
re
asso
ci
e.
2
1
(
p
)
valeur
p
rop
re
en
valeur
absolue
ap
r
es
.
1
Sous
certaines
conditions,
v
devient
p
rop
o
r-
c)
cas
o
u
c
=
0
:
on
fait
la
m
^
eme
chose
(1)
(
p
)
1
tionnel
a
x
quand
p
!
1
et
k
Av
k!j
j
1
(2)
avec
et
x
sous
des
hyp
oth
eses
similaires
2
a
celles
du
th
eo
r
eme.
3
4Algo
rithme
de
d
e ation
Algo
rithme
de
Rutishauser
calcule
les
autres
valeurs
p
rop
res
de
A
(Autre
m
etho
de)
Princip
e
:
etant
calcul
ee,
on
d
eduit
une
Recherche,
au
mo
y
en
de
d
ecomp
ositions
LU
succes-
1
sives,
d’une
matrice
semblable
a
la
matrice
etudi
ee
et
matrice
A
1
qui
admet
les
valeurs
p
rop
res
0,
triangulaire
sup
erieure.
,
...,
.
2
n
Les
valeurs
p
rop
res
sont
alo
rs
les
el
ements
diagonaux
de
la
matrice
triangulaire.
On
d
etermine
alo
rs
,
etc
...
2
Princip
e
de
l’algo
rithme
-
d
ecomp
osition
LU
,
A
=
LU
D
etermination
de
A
1
-
calcul,
a
l’aide
de
la
matrice
de
passage
L
,
de
la
ma-
t
1
1
est
aussi
valeur
p
rop
re
de
A
de
vecteur
p
ro-
1
trice
L
AL
=
L
LU
L
=
U
L
semblable
a
A
-
iteration,
a
pa
rtir
de
la
nouvelle
matrice
U
L
du
p
ro-
p
re
y
cessus
1
(1)
t
alo
rs
A
1
=
A
x
y
convient.
t
(1)
y
x
On
d
e nit
ainsi
les
suites
A
,
L
,
U
de
matrices
pa
r
k
k
k
A
=
A
=
L
U
1
1
1
Suite
du
calcul
:
l’algo
rithme
de
la
puissance
A
=
U
L
=
L
U
2
1
1
2
2
...
it
er
ee
appliqu
e
a
A
1
donne
valeur
p
rop
re
de
2
A
=
U
L
=
L
U
k
+1
k
k
k
+1
k
+1
plus
grand
mo
dule
de
A
1.
Les
matrices
A
sont
toutes
semblables
a
A
.
k
En
r
eit
erant
ce
p
ro
cessus
de
d
e ation,
on
p
ourra
Sous
certaines
conditions,
A
!
une
matrice
triangulaire
k
calculer
successivement
toutes
les
valeurs
p
ro-
sup
erieure
quand
k
!
1
p
res
de
A
,
a
condition
qu’elles
soient
toutes
di
erentes
en
mo
dule.
5
6
Theo
r
eme
de
convergence
Si
A
est
une
matrice
telle
que
1)
ses
valeurs
p
rop
res
sont
non
nulles
et
i
T
est
d’a
rr
^
et
di
erentes
en
mo
dules,
On
p
ourra
s’a
rr
^
eter,
pa
r
exemple,
lo
rsque
les
soient
j
j
>
j
j
>
:::